Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t t0 :
f(t)=(-5 t+pi) i+sen(t-5)t-5 jmath+raizt-raiz5raizt+5-raiz10 k, t0=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial f(t) que depende de t, e queremos encontrar o limite dessa função quando t se aproxima de 5. A matéria aqui envolve cálculo de limites e funções vetoriais. Vamos precisar analisar cada componente da função separadamente para achar o limite final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção i:
-5t + pi
Para achar o limite quando t 5, basta substituir t por 5 na expressão:
-5(5) + pi = -25 + pi
Então, o limite da primeira componente é -25 + pi.

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção j:
sin(t - 5)t - 5
Aqui nos deparamos com uma expressão do tipo sin(x)x, onde x = t - 5. Sabemos que:
limx to 0 sin(x)x = 1
Como t está se aproximando de 5, x = t - 5 está se aproximando de 0. Portanto:
limt to 5 sin(t - 5)t - 5 = 1
Então, o limite da segunda componente é 1.

Passo 4

Por fim, vamos avaliar a componente na direção k:
raizt - raiz5raizt + 5 - raiz10
Se substituirmos t = 5, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que nos dá uma forma indeterminada 00. Para resolver isso, vamos racionalizar numerador e denominador.
Primeiro, racionalizamos o numerador multiplicando por raizt + raiz5:
raizt - raiz5raizt + 5 - raiz10 times raizt + raiz5raizt + raiz5 = t - 5(raizt + 5 - raiz10)(raizt + raiz5)
Agora, racionalizamos o denominador multiplicando por raizt + 5 + raiz10:
t - 5(raizt + 5 - raiz10)(raizt + raiz5) times raizt + 5 + raiz10raizt + 5 + raiz10 = (t - 5)(raizt + 5 + raiz10)(t + 5 - 10)(raizt + raiz5)
Simplificando:
(t - 5)(raizt + 5 + raiz10)(t - 5)(raizt + raiz5) = raizt + 5 + raiz10raizt + raiz5
Agora, podemos substituir t = 5:
raiz5 + 5 + raiz10raiz5 + raiz5 = raiz10 + raiz102raiz5 = 2raiz102raiz5 = raiz10raiz5 = raiz2
Então, o limite da terceira componente é raiz2.

Resposta

O limite da função vetorial quando t se aproxima de 5 é:
f(5) = (-25 + pi), i + 1, j + raiz2, k

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