Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
que depende de
, e queremos encontrar o limite dessa função quando
se aproxima de
. A matéria aqui envolve cálculo de limites e funções vetoriais. Vamos precisar analisar cada componente da função separadamente para achar o limite final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente na direção
:
Para achar o limite quando
, basta substituir
por
na expressão:
Então, o limite da primeira componente é
.
Passo 3
Agora, vamos para a componente na direção
:
Aqui nos deparamos com uma expressão do tipo
, onde
. Sabemos que:
Como
está se aproximando de
,
está se aproximando de
. Portanto:
Então, o limite da segunda componente é
.
Passo 4
Por fim, vamos avaliar a componente na direção
:
Se substituirmos
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam
, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, vamos racionalizar numerador e denominador.
Primeiro, racionalizamos o numerador multiplicando por
:
Agora, racionalizamos o denominador multiplicando por
:
Simplificando:
Agora, podemos substituir
:
Então, o limite da terceira componente é
.
Resposta
O limite da função vetorial quando
se aproxima de
é: