Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente
no ponto
indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função vetorial dada no ponto específico onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas de funções vetoriais, para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto onde
.
Passo 3
Para achar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial
, que nos dá a velocidade ou o vetor tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente da função:
- Derivada da componente
:
- Derivada da componente
:
Aqui usamos a regra do produto:
.
- Derivada da componente
:
Simplificando a expressão antes de derivar:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Então, a derivada total da função vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função original
e sua derivada
no ponto
.
- Avaliando
:
- Avaliando
:
Resposta
A reta tangente à função vetorial no ponto
é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando: