Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente r(t) no ponto t0 indicado:
f(t)=(3 t+7) imath+t sen t j+t^3t+t^2 k, t0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função vetorial dada no ponto específico onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas de funções vetoriais, para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
f(t) = (3t + 7),imath + t,sin(t),jmath + t^3t + t^2,k
Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto onde .

Passo 3

Para achar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial ddt(3t + 7) = 3 , que nos dá a velocidade ou o vetor tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente da função:
  1. Derivada da componente ddt(t,sin(t)) = sin(t) + t,cos(t) :
ddt(t^3t + t^2)
  1. Derivada da componente t^3t(1 + t) = t^21 + t :
ddt(t^21 + t) = 2t(1 + t) - t^2(1)(1 + t)^2 = 2t + 2t^2 - t^2(1 + t)^2 = 2t + t^2(1 + t)^2
Aqui usamos a regra do produto: f,'(t) = 3,imath + (sin(t) + t,cos(t)),jmath + 2t + t^2(1 + t)^2,k .
  1. Derivada da componente :
Simplificando a expressão antes de derivar:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Então, a derivada total da função vetorial é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função original f(1) = (3 cdot 1 + 7),imath + 1,sin(1),jmath + 1^31 + 1^2,k = 10,imath + sin(1),jmath + 12,k e sua derivada f,'(1) = 3,imath + (sin(1) + 1 cdot cos(1)),jmath + 2 cdot 1 + 1^2(1 + 1)^2,k = 3,imath + (sin(1) + cos(1)),jmath + 34,k no ponto .
  1. Avaliando :
  1. Avaliando :

Resposta

A reta tangente à função vetorial no ponto r(t) = f(1) + f,'(1) cdot (t - 1) é dada por:
r(t) = (10,imath + sin(1),jmath + 12,k) + (3,imath + (sin(1) + cos(1)),jmath + 34,k)(t - 1)
Substituindo os valores encontrados:
r(t) = (10 + 3(t - 1)),imath + (sin(1) + (sin(1) + cos(1))(t - 1)),jmath + (12 + 34(t - 1)),k
Simplificando:

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