Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t t0 :
f(t)=raiz[3]t-2t-8 l+cos (t-8) j+512-t^364-t^2 k, t0=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que depende de , e precisamos calcular o limite dela quando se aproxima de 8 ( ). A função está dividida em três partes, cada uma multiplicada por um vetor unitário diferente ( , e ). Para resolver esse problema, vamos usar conhecimentos de limites de funções reais e aplicar isso componente por componente da função vetorial.

Passo 2

Vamos primeiro olhar para a primeira componente da função: limt to 8 raiz[3]t - 2t - 8 = limt to 8 13 t^-2/31 = 13 cdot (8)^-2/3 .
Aqui, precisamos calcular o limite de 13 cdot 14 = 112 quando se aproxima de 8. Percebemos que, se substituirmos diretamente, o numerador vira , e o denominador também é , resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos usar a regra de derivadas de L’Hôpital, que é aplicada quando temos limites que resultam em ou .
A regra de L’Hôpital diz que se resulta em uma forma indeterminada, então podemos calcular , desde que as derivadas existam.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Sabemos que , então .
Portanto:
Então, a primeira componente do limite é .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 8 cos(t - 8) = cos(8 - 8) = cos(0) = 1 .
Aqui, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 8.
Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que:
Então, a segunda componente do limite é .

Passo 4

Finalmente, vamos para a terceira componente: 512 - 51264 - 64 = 00 .
Precisamos calcular o limite de limt to 8 512 - t^364 - t^2 = limt to 8 -3t^2-2t = limt to 8 3t2 quando 3 cdot 82 = 242 = 12 se aproxima de 8.
Primeiro, substituímos :
Novamente, temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Substituindo :
Então, a terceira componente do limite é .

Resposta

O limite da função vetorial f(8) = 112 l + 1 j + 12 k quando se aproxima de 8 é:

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