Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
que depende de
, e precisamos calcular o limite dela quando
se aproxima de 8 (
). A função está dividida em três partes, cada uma multiplicada por um vetor unitário diferente (
,
e
). Para resolver esse problema, vamos usar conhecimentos de limites de funções reais e aplicar isso componente por componente da função vetorial.
Passo 2
Vamos primeiro olhar para a primeira componente da função:
.
Aqui, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 8. Percebemos que, se substituirmos
diretamente, o numerador vira
, e o denominador também é
, resultando em uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos usar a regra de derivadas de L’Hôpital, que é aplicada quando temos limites que resultam em
ou
.
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em uma forma indeterminada, então podemos calcular
, desde que as derivadas existam.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Sabemos que
, então
.
Portanto:
Então, a primeira componente do limite é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Aqui, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 8.
Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que:
Então, a segunda componente do limite é
.
Passo 4
Finalmente, vamos para a terceira componente:
.
Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 8.
Primeiro, substituímos
:
Novamente, temos uma forma indeterminada
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Substituindo
:
Então, a terceira componente do limite é
.
Resposta
O limite da função vetorial
quando
se aproxima de 8 é: