Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
Passo 1
Vamos entender qual é a tarefa aqui. Precisamos calcular o limite da função vetorial
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial individualmente e calcular seus limites quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da componente na direção
, que é
.
Sabemos que a série de Taylor de
perto de
é:
Portanto,
Substituindo na fração:
Quando
tende a
, todos os termos com
desaparecem, restando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da componente na direção
, que é
.
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Perceba que
pode ser fatorado como:
Substituindo de volta:
Então, o limite fica:
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da componente na direção
, que é
.
Substituindo diretamente
na expressão:
Portanto:
Resposta
O limite da função vetorial
quando
tende a
é: