Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t t0 :
f(t)=te^t-1 l+t^3-tt^2-t j+t1-t^2 k, t0=0

Passo 1

Vamos entender qual é a tarefa aqui. Precisamos calcular o limite da função vetorial f(t) quando t se aproxima de 0. A função é dada por:
f(t) = te^t - 1 , l + t^3 - tt^2 - t , j + t1 - t^2 , k
Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função vetorial individualmente e calcular seus limites quando t 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente na direção l, que é te^t - 1.
Sabemos que a série de Taylor de e^t perto de t=0 é:
e^t = 1 + t + t^22 + t^36 + cdots
Portanto,
e^t - 1 = t + t^22 + t^36 + cdots
Substituindo na fração:
te^t - 1 = tt + t^22 + t^36 + cdots = 11 + t2 + t^26 + cdots
Quando t tende a 0, todos os termos com t desaparecem, restando:
limt to 0 te^t - 1 = 11 = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da componente na direção j, que é t^3 - tt^2 - t.
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
t^3 - tt^2 - t = t(t^2 - 1)t(t - 1) = t^2 - 1t - 1
Perceba que t^2 - 1 pode ser fatorado como:
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
Substituindo de volta:
(t - 1)(t + 1)t - 1 = t + 1
Então, o limite fica:
limt to 0 (t + 1) = 0 + 1 = 1

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da componente na direção k, que é t1 - t^2.
Substituindo diretamente t = 0 na expressão:
01 - 0^2 = 0
Portanto:
limt to 0 t1 - t^2 = 0

Resposta

O limite da função vetorial f(t) quando t tende a 0 é:
f(0) = 1 , l + 1 , j + 0 , k = l + j

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