Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente
no ponto
indicado:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar a reta tangente à função vetorial
no ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e entender como determinar a reta tangente em um ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
, que nos dará o vetor velocidade
. A derivada nos indica a direção da reta tangente no ponto considerado.
Passo 4
Vamos calcular a derivada componente a componente:
- A derivada de
em relação a é 0, pois é uma constante. - A derivada de
é , então temos:
- A derivada de
é , então:
Portanto, a derivada da função vetorial é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função vetorial
no ponto
para encontrar o ponto de tangência:
Simplificando:
Passo 6
Também vamos avaliar a derivada
em
para obter o vetor direção da reta tangente:
Simplificando:
Passo 7
Com o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente
:
Substituindo os valores:
Resposta
A reta tangente à funç��o vetorial
no ponto
é dada por: