Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente r(t) no ponto t0 indicado:
f(t)=pi l+sen(pi t5) j+1raiz2 t-7 k, t0=5

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar a reta tangente à função vetorial f(t) no ponto específico t0 = 5. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e entender como determinar a reta tangente em um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
f(t) = pi l + sin(pi t5) j + 1raiz2t -7 k
Aqui, l, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial f(t) em relação a t, que nos dará o vetor velocidade f,'(t). A derivada nos indica a direção da reta tangente no ponto considerado.

Passo 4

Vamos calcular a derivada componente a componente:
  1. A derivada de pi l em relação a t é 0, pois é uma constante.
  2. A derivada de sin(pi t5) é pi5 cos(pi t5), então temos:
ddt[sin(pi t5) j] = pi5 cos(pi t5) j
  1. A derivada de 1raiz2t -7 é -1(2t -7)^3/2 cdot 2, então:
ddt[1raiz2t -7 k] = -2(2t -7)^3/2 k
Portanto, a derivada da função vetorial é:
f,'(t) = 0 l + pi5 cos(pi t5) j - 2(2t -7)^3/2 k

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função vetorial f(t) no ponto t0 = 5 para encontrar o ponto de tangência:
f(5) = pi l + sin(pi cdot 55) j + 1raiz2 cdot 5 -7 k
Simplificando:
f(5) = pi l + sin(pi) j + 1raiz10 -7 k = pi l + 0 j + 1raiz3 k

Passo 6

Também vamos avaliar a derivada f,'(t) em t0 = 5 para obter o vetor direção da reta tangente:
f,'(5) = 0 l + pi5 cos(pi cdot 55) j - 2(2 cdot 5 -7)^3/2 k
Simplificando:
f,'(5) = 0 l + pi5 cos(pi) j - 2(10 -7)^3/2 k = 0 l - pi5 j - 2raiz27 k

Passo 7

Com o ponto de tangência f(5) e o vetor direção f,'(5), podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente r(t):
r(t) = f(5) + f,'(5)(t - 5)
Substituindo os valores:
r(t) = pi l + 0 j + 1raiz3 k + (0 l - pi5 j - 2raiz27 k)(t - 5)

Resposta

A reta tangente à funç��o vetorial f(t) no ponto t0 = 5 é dada por:
r(t) = pi l - pi5(t - 5) j + (1raiz3 - 2raiz27(t - 5)) k

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