Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente vec(r)(t) no ponto t0 indicado:
f(t) = ln(t - 1)i + raiz(t - 2)j - e^(2 - t)k, t0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a reta tangente à função vetorial dada no ponto onde . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde a gente aprende a trabalhar com derivadas de funções que têm múltiplas componentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a função original no ponto e também a sua derivada nesse mesmo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a função vetorial no ponto . Isso significa substituir por 3 em cada componente da função:
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dará a direção da reta tangente. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente individualmente em relação a :
Calculando cada derivada:
  1. (porque a derivada de é , e então , multiplicando pelos sinais dá )
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto :
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 5

Com a posição da função no ponto e a sua derivada nesse ponto, podemos escrever a equação da reta tangente. A equação da reta tangente pode ser expressa como:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A reta tangente no ponto é dada por:

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