Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente
no ponto
indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a reta tangente à função vetorial dada no ponto onde
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde a gente aprende a trabalhar com derivadas de funções que têm múltiplas componentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a função original no ponto
e também a sua derivada nesse mesmo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a função vetorial
no ponto
. Isso significa substituir
por 3 em cada componente da função:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dará a direção da reta tangente. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente individualmente em relação a
:
Calculando cada derivada:
-
-
-
(porque a derivada de é , e então , multiplicando pelos sinais dá )
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 5
Com a posição da função no ponto
e a sua derivada nesse ponto, podemos escrever a equação da reta tangente. A equação da reta tangente
pode ser expressa como:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A reta tangente no ponto
é dada por: