Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente r(t) no ponto t0 indicado:
f(t)=raiz[3]tt-1 i+cos (t pi6) j+(t-8) k, t0=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente achar a reta tangente à função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente a derivada da função para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente numa função vetorial no ponto r(t) = f(t0) + f,'(t0) cdot (t - t0) é dada por:
Aqui, é o vetor posição no ponto e é a derivada da função no mesmo ponto, que dá a direção da tangente.

Passo 3

Vamos começar calculando f(8) = raiz[3]88-1 i + cos ( 8 pi6 ) j + (8 - 8) k . Substituindo raiz[3]8 = 2, 8-1 = 7, cos(8pi6) = cos(4pi3) = -12, 8-8 = 0 na função inicial:
f(8) = 27 i - 12 j + 0 k
Simplificando cada componente:
Então:

Passo 4

Agora, vamos achar a derivada ddt ( raiz[3]tt-1 ) = 13 t^-2/3 (t - 1) - raiz[3]t cdot 1(t - 1)^2 = 13(t - 1) t^-2/3 - t^1/3(t - 1)^2 . Derivando cada componente da função original:
Para a componente ddt cos ( t pi6 ) = -sin ( t pi6 ) cdot pi6 :
ddt (t - 8) = 1
Para a componente :
Para a componente :

Passo 5

Vamos calcular 13(8 - 1) (8)^-2/3 - (8)^1/3 = 73 cdot 14 - 2 = 712 - 2 = -1712 :
Primeiro, para a componente ddt ( raiz[3]tt-1 ) g|t=8 = -1712 cdot 49 = -17588 :
-sin ( 8 pi6 ) cdot pi6 = -sin(4pi3) cdot pi6 = raiz32 cdot pi6 = raiz3 pi12
Então:
1
Para a componente f,'(8) = -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k :
E para a componente :
Então:

Passo 6

Agora, montamos a expressão da reta tangente usando a fórmula inicial:
r(t) = f(8) + f,'(8) cdot (t - 8)
Substituindo os valores que encontramos:
r(t) = ( 27 i - 12 j ) + ( -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k ) (t - 8)

Resposta

A reta tangente à função vetorial no ponto r(t) = 27 i - 12 j + ( -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k ) (t - 8) é:

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