Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente achar a reta tangente à função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente a derivada da função para encontrar a direção da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente numa função vetorial no ponto é dada por:
Aqui, é o vetor posição no ponto e é a derivada da função no mesmo ponto, que dá a direção da tangente.
Passo 3
Vamos começar calculando . Substituindo na função inicial:
Simplificando cada componente:
Então:
Passo 4
Agora, vamos achar a derivada . Derivando cada componente da função original:
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :
Passo 5
Vamos calcular :
Primeiro, para a componente :
Então:
Para a componente f,'(8) = -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k :
E para a componente :
Então:
Passo 6
Agora, montamos a expressão da reta tangente usando a fórmula inicial:
r(t) = f(8) + f,'(8) cdot (t - 8)
Substituindo os valores que encontramos:
r(t) = ( 27 i - 12 j ) + ( -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k ) (t - 8)
Resposta
A reta tangente à função vetorial no ponto r(t) = 27 i - 12 j + ( -17588 i + raiz3 pi12 j + 1 k ) (t - 8) é: