Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=1 / 3 x^{3}-1 / 2 x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+4x.
Conteúdo: derivada de polinômios. Vamos usar a linearidade da derivada (derivar soma termo a termo) e a regra do expoente, que diz
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Pela linearidade,
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{3}x^{3}\Bigr) -\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{2}x^{2}\Bigr) +\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr).

Passo 3

Aplicando a regra do expoente em cada termo:
– Para \tfrac{1}{3}x^{3}:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{3}x^{3}\Bigr) =\frac{1}{3}\cdot3\,x^{2} =x^{2}.
– Para -\tfrac{1}{2}x^{2}:
\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{1}{2}x^{2}\Bigr) =-\frac{1}{2}\cdot2\,x =-x.
– Para 4x:
\frac{d}{dx}(4x)=4.

Passo 4

Somando os termos obtidos,
f'(x)=x^{2}-x+4.

Resposta

f'(x)=x^{2}-x+4.

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