Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\arctan \left(\frac{x+1}{x-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr).
O conteúdo envolve a regra da cadeia (para \arctan(u)) e a regra do quociente (para u(x)=(x+1)/(x-1)).

Passo 2

Aplicamos a derivada de \arctan(u), que é
\frac{d}{dx}\,\arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}.
Aqui u(x)=\frac{x+1}{x-1}, então
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^2}.

Passo 3

Calculamos u'(x) pela regra do quociente:
u(x)=\frac{x+1}{x-1}\quad\Longrightarrow\quad u'(x) =\frac{(1)\,(x-1)-(x+1)\,(1)}{(x-1)^2} =\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} =\frac{-2}{(x-1)^2}.

Passo 4

Substituímos em
f'(x) =\frac{-2/(x-1)^2}{1+\bigl((x+1)/(x-1)\bigr)^2} =\frac{-2/(x-1)^2}{\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x-1)^2}} =-2\;\frac{1}{(x-1)^2+(x+1)^2} =-2\;\frac{1}{2x^2+2} =-\frac{1}{x^2+1}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^2+1}.

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