Determine se a sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(h) a_{n}=n-2^{n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty} por
a_{n} = n - 2^{n},
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona, e se é limitada. Vamos usar a diferença dos termos consecutivos para investigar a monotonicidade e o comportamento para grandes n para a limitação.

Passo 2

Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
\Delta a_{n} = a_{n+1} - a_{n} = \bigl((n+1)-2^{\,n+1}\bigr) - \bigl(n-2^{n}\bigr) = 1 - 2^{n}.

Passo 3

Para todo n\ge1 temos 2^{n}\ge2, logo
\Delta a_{n} = 1 - 2^{n} \le 1 - 2 = -1 < 0.
Isto significa que a_{n+1}<a_{n} para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Para verificar a limitação note que, conforme n\to\infty,
2^{n}\gg n \quad\Longrightarrow\quad a_{n}=n-2^{n}\to -\infty,
logo não existe um limite inferior finito (a sequência é ilimitada inferiormente). Por outro lado, o valor máximo ocorre em n=1, pois daí em diante a sequência decresce, sendo a_{1}=1-2=-1. Assim, existe um limite superior -1, mas não existe limite inferior.

Resposta

A sequência \{a_{n}\} é estritamente decrescente e não é limitada (é ilimitada inferiormente, embora seja limitada superiormente por -1).

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