É verdadeiro ou falso?
(f) Se \left\{a_{2 n}\right\}_{n=1}^{\infty} e \left\{a_{2 n+1}\right\}_{n=1}^{\infty} são convergentes, então \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao sabermos que as duas subsequências \{a_{2n}\}_{n=1}^\infty e \{a_{2n+1}\}_{n=1}^\infty são convergentes, isso já implica que a sequência inteira \{a_n\}_{n=1}^\infty converge. Vamos usar conceitos de convergência de sequência e subsequência.

Passo 2

Recordando a teoria, se uma sequência \{a_n\} converge para um limite L, então toda subsequência também converge para L. No entanto, o fato de duas subsequências (a par e a ímpar) convergirem não garante a convergência da sequência completa, a menos que ambas tenham exatamente o mesmo limite.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo simples. Definamos
a_n = \begin{cases} 0, & \text{se \(n\) é par},\\ 1, & \text{se \(n\) é ímpar}. \end{cases}ééí
Então
\{a_{2n}\}\to 0 \quad\text{e}\quad \{a_{2n+1}\}\to 1,
mas \{a_n\} não converge, pois os termos ímpares ficam arbitrariamente perto de 1 e os pares ficam perto de 0, sem um único valor de aproximação.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados