É verdadeiro ou falso?
(f) Se
e
são convergentes, então
é convergente.
(f) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao sabermos que as duas subsequências
e
são convergentes, isso já implica que a sequência inteira
converge. Vamos usar conceitos de convergência de sequência e subsequência.
Passo 2
Recordando a teoria, se uma sequência
converge para um limite
, então toda subsequência também converge para
. No entanto, o fato de duas subsequências (a par e a ímpar) convergirem não garante a convergência da sequência completa, a menos que ambas tenham exatamente o mesmo limite.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo simples. Definamos
Então
mas
não converge, pois os termos ímpares ficam arbitrariamente perto de
e os pares ficam perto de
, sem um único valor de aproximação.
Resposta
Falso.