Para cada uma das funções abaixo, calcule a derivada.
f(x)=\operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{sen}(x). Para isso vamos usar a definição de derivada como limite e as identidades trigonométricas e limites elementares de funções trigonométricas.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada, temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Aplicando essa definição em f(x)=\operatorname{sen}(x), escrevemos
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}.
Usando a identidade
\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}(x)\cos(h)+\cos(x)\operatorname{sen}(h),
o numerador fica
\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x) =\operatorname{sen}(x)\bigl(\cos(h)-1\bigr)+\cos(x)\operatorname{sen}(h).
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\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\operatorname{sen}(x)\,\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\,\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}.

Passo 4

Sabemos os limites trigonométricos básicos:
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada, obtemos
f'(x) =\operatorname{sen}(x)\cdot0+\cos(x)\cdot1 =\cos(x).

Resposta

A derivada de f(x)=\operatorname{sen}(x) é
f'(x)=\cos(x).

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