Para cada uma das funções abaixo defina f(0) de modo a termos cada função contínua em x=0.
f(x)=(1+x)^n-1x, (n in N)

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos o valor de f(0) de modo que a função f(x)=(1+x)^n-1x seja contínua em x=0. O conteúdo aqui é limite e continuidade de funções, e vamos precisar calcular limxto0f(x).

Passo 2

Para encontrar limxto0 (1+x)^n-1x, vamos usar a expansão binomial de (1+x)^n. A fórmula da expansão binomial é:
(1+x)^n = sumk=0^n binomnk x^k = 1 + n x + sumk=2^n binomnk x^k
Substituindo na expressão de f(x), temos:
(1+x)^n - 1x = l(1 + n x + sumk=2^n binomnk x^kr) - 1x = n x + sumk=2^n binomnk x^kx

Passo 3

Agora dividimos cada termo por x:
n + sumk=2^n binomnk x^k-1
Quando fazemos x to 0, todos os termos x^k-1 com k>=2 vão para zero, então o limite é simplesmente n.
Para que f seja contínua em x=0, devemos definir f(0) igual a esse limite.

Resposta

f(0)=n

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