Determine todas as soluções da equação z^4+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes da equação z^4+1=0, ou seja as soluções complexas de z^4=-1. O conteúdo aqui é raízes de polinômio no plano complexo e vamos precisar usar a forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro escrevemos -1 em forma exponencial no plano complexo. Sabemos que -1 = e^i(pi + 2mpi) para qualquer inteiro m.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, se z^4 = e^i(pi + 2mpi), então as soluções são dadas por
z = e^ipi + 2mpi4para m=0,1,2,3

Passo 4

Bast a escolher m=0,1,2,3 e simplificar os ângulos: para cada m temos
thetam = pi + 2mpi4 = (2m+1)pi4
Isso gera os quatro ângulos pi4,3pi4,5pi4,7pi4. Convertendo para a forma a+bi:
e^ipi4=1+iraiz2, e^i3pi4=-1+iraiz2, e^i5pi4=-1-iraiz2, e^i7pi4=1-iraiz2

Resposta

As soluções são
z=1+iraiz2,;-1+iraiz2,;-1-iraiz2,;1-iraiz2

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