Represente geometricamente os campos:
.

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o campo de vetor bidimensional
R^2setminus0
que vive em . O conteúdo é representação de campos vetoriais em coordenadas polares e análise de direção e módulo.

Passo 2

Para ver a forma do campo, vamos usar coordenadas polares:
r=raizx1^2+x2^2>0
em que vec F=rcosthetar^2,vec i+rsinthetar^2,vec j =1r(costheta,vec i+sintheta,vec j) . Substituindo:
vec F=1r,hat er
que é exatamente
hat er=(costheta,sintheta)
onde é o versor radial.

Passo 3

Do resultado acima vemos que a direção do campo em cada ponto é radial (apontando para fora do origem) e o módulo é
rto0^+
que cresce para infinito quando rto+infty e decai para zero quando .

Passo 4

Geometricamente, num esboço em R^2:
  • Em cada círculo de raio r as setas estão saindo radialmente.
  • O comprimento de cada seta é proporcional a 1/r.
    Logo próximo à origem as setas são muito longas e longe da origem muito curtas.

Passo 5

Como observação extra, este campo é conservativo (possui potencial ln r) em qualquer domínio que não inclua a origem.

Resposta

O campo é um campo radial apontando para fora da origem, de módulo 1/r. As linhas de força são as retas que saem da origem e o comprimento da seta em um ponto a distância r é 1/r.

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