Use o fato de que 8 i=(2+2 i)^2 para determinar todas as soluções da equação
z^2-8 z+16=8 i

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções da equação z²–8z+16=8i. O conteúdo envolve equações quadráticas em ℂ e a técnica de completar o quadrado.

Passo 2

Repare que o lado esquerdo pode ser escrito como um quadrado perfeito: (z–4)² = z² – 8z + 16. Podemos então reescrever a equação original como
(z-4)^2 = 8i

Passo 3

Agora precisamos extrair a raiz quadrada de 8i. Como o enunciado fornece 8i = (2+2i)², concluímos que as raízes de w² = 8i são w = ±(2+2i). Aqui definimos w = z–4. Portanto, z–4 = ±(2+2i), o que nos leva a z = 4 ± (2+2i).

Passo 4

Calculando as duas opções: z₁ = 4 + (2+2i) = 6 + 2i e z₂ = 4 – (2+2i) = 2 – 2i.

Resposta

As soluções são z = 6 + 2i e z = 2 – 2i.

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