Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries infinitas, em particular p-séries e o teste da comparação por limite. Para resolver, vamos usar a expansão assintótica de
quando
e comparar com a p-série
.
Passo 2
Sabemos da análise de função que, quando
, vale
. Substituindo
, obtemos que
Passo 3
Para aplicar o teste da comparação por limite, definimos
e
. Calculamos o limite
Como o limite é finito e estritamente positivo, as séries
Passo 4
A série
é a clássica p-série: ela converge se e somente se
e diverge para
. Pelo teste da comparação por limite, o mesmo vale para
.
Resposta
A série converge se
e diverge se
.