Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

A série em questão é sumn=2^infty lnl(1+1/n^pr). O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries infinitas, em particular p-séries e o teste da comparação por limite. Para resolver, vamos usar a expansão assintótica de ln(1+x) quando xto0 e comparar com a p-série sum1/n^p.

Passo 2

Sabemos da análise de função que, quando xto0, vale ln(1+x)=x+o(x). Substituindo x=1/n^p, obtemos que
lnl(1+1/n^pr)sim 1/n^p

Passo 3

Para aplicar o teste da comparação por limite, definimos an=ln(1+1/n^p) e bn=1/n^p. Calculamos o limite
limntoinftyanbn=limntoinftyln(1+1/n^p)1/n^p=1
Como o limite é finito e estritamente positivo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série sum bn=sum1/n^p é a clássica p-série: ela converge se e somente se p>1 e diverge para 0. Pelo teste da comparação por limite, o mesmo vale para sum an.

Resposta

A série converge se p>1 e diverge se 0.

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