Considere a integral dada em coordenadas polares por
integral0^pi / 4 integral0^2 cos theta r d r d theta
a qual representa a área de uma região R no plano x y.
Calcule a área da regiào R.

Passo 1

Aqui a gente tem a integral em coordenadas polares
integral0^pi/4integral0^2costhetar,dr,dtheta
que dá a área da região R. Vamos usar que o elemento de área em polares é dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro, integramos em r:
integral0^2costhetar,dr=r^22|0^2costheta=(2costheta)^22=2cos^2theta
Assim a área fica
integral0^pi/42cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar 2cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica
cos^2theta=1+cos(2theta)2
Logo
2cos^2theta=1+cos(2theta)
Então a integral vira
integral0^pi/4(1+cos(2theta)),dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral em theta:
integral0^pi/41,dtheta=theta|0^pi/4=pi4,
integral0^pi/4cos(2theta),dtheta=sin(2theta)2|0^pi/4=sin(pi/2)2=12
Somando dá pi4+12.

Resposta

pi4+12

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