Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
f(x)=3+e^1 / x.

Passo 1

O exercício pede para encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f(x)=3+e^1/x. Vamos usar definição de domínio, cálculos de limites e as condições para cada tipo de assíntota.

Passo 2

Determinamos o domínio de f: como aparece 1/x, x não pode ser zero. Logo o domínio é Rsetminus0. O ponto crítico para assíntota vertical é x=0.

Passo 3

Calculamos os limites laterais em x=0 para ver se há assíntota vertical.
limx to 0^+ f(x) = 3 + limx to 0^+ e^1/x = 3 + (+infty) = +infty
limx to 0^- f(x) = 3 + limx to 0^- e^1/x = 3 + 0 = 3
Como pelo menos num dos lados ( xto0^+ ) f(x)to+infty, concluímos que x=0 é assíntota vertical.

Passo 4

Agora analisamos xtopminfty para assíntota horizontal.
limx to pminfty f(x) = 3 + limx to pminfty e^1/x = 3 + 1 = 4
Portanto, y=4 é assíntota horizontal.

Passo 5

Para verificar oblíqua, calculamos inclinação m=limxtoinfty f(x)/x. Como f(x) tende a uma constante, m=0. Isso já indica que não existe reta com inclinação não nula. Logo não há assíntota oblíqua, apenas a horizontal encontrada anteriormente.

Resposta

Assíntota vertical: x = 0; assíntota horizontal: y = 4; não há assíntotas oblíquas.

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