Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
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Passo 1
A função em questão é f(x)=tg x, e o que queremos é identificar três tipos de assíntotas: verticais (quando x se aproxima de um valor finito que causa “infinito” em f), horizontais (quando x→±∞ e f(x) tende a uma constante) e oblíquas (quando x→±∞ e f(x) se aproxima de uma reta não horizontal). Para isso vamos usar o domínio da tangente, seu comportamento perto das singularidades e seu caráter periódico.
Passo 2
O primeiro passo prático é achar as assíntotas verticais. Lembrando que tg x=sen x/cos x, as descontinuidades ocorrem quando cos x=0, isto é em x=π/2 + kπ, k∈ℤ. Nesses pontos tg x→±∞ de forma alternada, então cada x=π/2 + kπ é uma assíntota vertical.
Passo 3
Para as assíntotas horizontais, analisamos lim x→±∞ tg x. Como tg x é periódica de período π e oscila entre −∞ e +∞ sem se aproximar de um valor constante, esses limites não existem. Logo não há assíntotas horizontais.
Passo 4
Finalmente, para verificar assíntotas oblíquas que teriam forma y=mx+b com m≠0, consideramos o mesmo comportamento periódico: não há tendência de crescimento linear nem da forma tg x−(mx+b) tender a zero quando x→±∞. Logo não existem assíntotas oblíquas.
Resposta
Assíntotas verticais: x=
, k∈ℤ. Assíntotas horizontais: nenhuma. Assíntotas oblíquas: nenhuma.