Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
f(x)=sen xx

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f(x)=sin xx. Vamos usar os conceitos de domínio, limite em pontos de descontinuidade e comportamento quando xto±infty.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio natural de f(x). Como temos x no denominador, o domínio é Rsetminus0. A única possível assíntota vertical ocorreria em x=0.

Passo 3

Para ver se há assíntota vertical em x=0, calculamos o limite de f(x) quando xto0:
limxto0sin xx=1
Como esse limite é finito, não temos nem explosão nem sinal trocando infinito, mas sim um valor finito (1). Isso significa que em x=0 há apenas uma descontinuidade removível, não uma assíntota vertical.

Passo 4

Agora analisamos as assíntotas horizontais. Precisamos dos limites quando xto+infty e xto-infty.
limxtopminftysin xx=0,
pois sin x oscila entre -1 e 1 enquanto x cresce em módulo, fazendo o quociente ir para zero. Assim, temos a assíntota horizontal y=0.

Passo 5

Por fim, para existir assíntota oblíqua, teríamos de achar uma reta y=mx+b tal que f(x)-(mx+b)to0 quando xtopminfty com mneq0. Como f(x)to0 e já existe uma assíntota horizontal, não há possibilidade de reta oblíqua com inclinação diferente de zero.

Passo 6

Portanto, concluímos quais são as assíntotas da função.

Resposta

Assíntotas verticais: nenhuma
Assíntota horizontal: y=0
Assíntotas oblíquas: nenhuma

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