Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2} e pede:
  • determinar o domínio de f;
  • achar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos);
  • achar pontos de inflexão;
  • determinar as regiões de crescimento e decrescimento;
  • estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo);
  • verificar se há assíntotas verticais e/ou horizontais;
  • traçar/descrever o gráfico e determinar a imagem (intervalo de valores que f assume).
    As únicas informações fornecidas são a expressão analítica da função f(x).

Passo 2

Determinar o domínio.
A função é um polinômio (expansão de um quadrado), e polinômios estão definidos para todo número real. Logo o domínio é
\mathbb{D}=\mathbb{R}.
Breve explicação didática: polinômios não têm divisões por zero nem raízes de radicais em denominador — nada impede avaliar em qualquer x real.

Passo 3

Calcular a derivada primeira para encontrar extremos e estudar monotonicidade.
Começo expandindo mentalmente ou derivando pela regra da cadeia. Usando regra da cadeia para f(x)=\big(g(x)\big)^2 com g(x)=x^2-1:
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).
Aqui g'(x)=2x, então
f'(x)=2\,(x^2-1)\cdot 2x = 4x(x^2-1).
Também é útil fatorar completamente:
f'(x)=4x(x-1)(x+1).
Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.

Passo 4

Estudar sinal de f'(x) para determinar intervalos de crescimento/decrescimento.
Fazer um quadro de sinais rápido usando os fatores x, (x-1), (x+1). As divisões relevantes são x=-1,\;0,\;1. Testando um valor em cada intervalo:
  • Para x<-1 (ex.: x=-2): x<0, x-1<0, x+1<0 ⇒ produto \;(-)\cdot(-)\cdot(-)=(-). Logo f'(x)<0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0 (ex.: x=-0,5): x<0, x-1<0, x+1>0 (-)\cdot(-)\cdot(+)=+. Logo f'(x)>0 em (-1,0).
  • Para 0<x<1 (ex.: x=0,5): x>0, x-1<0, x+1>0 (+)\cdot(-)\cdot(+)=(-). Logo f'(x)<0 em (0,1).
  • Para x>1 (ex.: x=2): todos fatores positivos ⇒ f'(x)>0 em (1,\infty).
Conclusão sobre monotonicidade (interpretando o sinal de f'):
  • f é decrescente em (-\infty,-1).
  • f é crescente em (-1,0).
  • f é decrescente em (0,1).
  • f é crescente em (1,\infty).
Didática curta: sinal positivo de f' significa que f sobe; sinal negativo significa que f desce. Testar pontos é o jeito prático em prova.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (máximos / mínimos relativos e absolutos). Calcular os valores da função nesses pontos:
f(1)=\big(1^{2}-1\big)^{2}=0,\qquad f(-1)=0,\qquad f(0)=\big(0-1\big)^{2}=1.
Usar o comportamento de f' ao redor dos críticos:
  • Em x=-1: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo local. Como f(-1)=0 e f(x)\ge 0 para todo x (é um quadrado), esse mínimo é também mínimo absoluto (valor mínimo global) igual a 0.
  • Em x=0: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo local. Portanto x=0 é um máximo relativo com f(0)=1. Não é máximo absoluto porque f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty.
  • Em x=1: f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local. Assim x=1 é mínimo local e, como f(1)=0, também é mínimo absoluto global.
Breve observação: também poderíamos usar a segunda derivada para classificar, mas a variação de sinal de f' é direta e robusta.

Passo 6

Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Derivando f'(x)=4x^{3}-4x:
f''(x)=12x^{2}-4 = 4(3x^{2}-1).
Resolver f''(x)=0 para candidatos a ponto de inflexão:
3x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Calcular f nesses pontos:
x^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow x^{2}-1=-\frac{2}{3}\Rightarrow f\!\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}.
Verificar mudança de concavidade (sinal de f'') para confirmar que são inflexões:
  • Para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}: 3x^{2}-1<0 f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}: 3x^{2}-1>0 f''(x)>0 (côncavo para cima).
Além disso, f'''(x)=24x é não nulo em x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, o que confirma inflexão regular. Portanto os pontos de inflexão são
\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9}\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9}\right).

Passo 7

Resumo da concavidade em intervalos:
  • f''(x)>0 em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e em (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty) ⇒ função côncava para cima nesses intervalos.
  • f''(x)<0 em (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}) ⇒ função côncava para baixo nesse intervalo.
Didática: concavidade é ver se a curva “abre para cima” (como uma tigela) ou “abre para baixo” (como um teto). A derivada segunda indica isso: f''>0 abre para cima; f''<0 abre para baixo.

Passo 8

Verificar assíntotas verticais e horizontais.
  • Assíntotas verticais ocorrem onde a função explode (por exemplo denomindor zero). Aqui f é polinomial e finita para todo x ⇒ não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais analisam limites em infinito. Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, temos \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty. Portanto não há assíntota horizontal (nem oblíqua): o gráfico cresce sem limite para +\infty.

Passo 9

Descrição do gráfico (para traçar na prova). Pontos e simetrias importantes:
  • Função par: f(-x)=f(x) (pois depende só de x^{2}), então é simétrica em relação ao eixo y.
  • Zeros/raízes: f(x)=0 x^{2}-1=0 x=\pm1. Esses são mínimos absolutos, pontos de contato com o eixo x.
  • Comportamento próximo à origem: f(0)=1, que é um máximo relativo (pico local) localizado entre os mínimos em -1 e 1.
  • Inflexões em x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}, com altura \tfrac{4}{9}, onde muda a curvatura.
  • Para |x| grandes, f(x) cresce como x^{4} (subida rápida para +\infty).
Forma intuitiva: é uma curva em “W” simétrica em torno do eixo y, com os dois poços (mínimos) tocando o eixo x em -1 e 1, e um pequeno pico no meio em x=0 com altura 1. Fora desses detalhes centrais, a curva sobe rapidamente para +\infty.

Passo 10

Determinar a imagem (contradomínio efetivo).
Sabendo que f(x)\ge 0 para todo x (é quadrado de algo real) e que f atinge o valor 0 em x=\pm1, e que \lim_{|x|\to\infty}f(x)=+\infty, concluímos que a imagem é o intervalo
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).
Justificação curta: função contínua que assume mínimo absoluto 0 e cresce até +\infty, então assume todos os valores não negativos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Pontos de máximo relativo: x=0 com f(0)=1 (máximo relativo).
Pontos de mínimo relativo e absoluto: x=-1 e x=1 com f(-1)=f(1)=0 (mínimos locais e mínimos absolutos igualmente).
Pontos de inflexão: \displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9}\right) e \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{4}{9}\right).
Regiões de crescimento: (-1,0) e (1,\infty).
Regiões de decrescimento: (-\infty,-1) e (0,1).
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty); côncava para baixo em (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}).
Assíntotas: nenhuma vertical e nenhuma horizontal (nenhuma assíntota).
Imagem: [0,\infty).

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