Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- determinar o domínio de
; - achar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos);
- achar pontos de inflexão;
- determinar as regiões de crescimento e decrescimento;
- estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo);
- verificar se há assíntotas verticais e/ou horizontais;
- traçar/descrever o gráfico e determinar a imagem (intervalo de valores que
assume).
As únicas informações fornecidas são a expressão analítica da função.
Passo 2
Determinar o domínio.
A função é um polinômio (expansão de um quadrado), e polinômios estão definidos para todo número real. Logo o domínio é
A função é um polinômio (expansão de um quadrado), e polinômios estão definidos para todo número real. Logo o domínio é
Breve explicação didática: polinômios não têm divisões por zero nem raízes de radicais em denominador — nada impede avaliar em qualquer
real.
Passo 3
Calcular a derivada primeira para encontrar extremos e estudar monotonicidade.
Começo expandindo mentalmente ou derivando pela regra da cadeia. Usando regra da cadeia para com
:
Começo expandindo mentalmente ou derivando pela regra da cadeia. Usando regra da cadeia para
Aqui
, então
Também é útil fatorar completamente:
Os pontos críticos são as soluções de
, ou seja
Passo 4
Estudar sinal de
para determinar intervalos de crescimento/decrescimento.
Fazer um quadro de sinais rápido usando os fatores ,
,
. As divisões relevantes são
. Testando um valor em cada intervalo:
Fazer um quadro de sinais rápido usando os fatores
- Para
(ex.: ): , , ⇒ produto . Logo em . - Para
(ex.: ): , , ⇒ . Logo em . - Para
(ex.: ): , , ⇒ . Logo em . - Para
(ex.: ): todos fatores positivos ⇒ em .
Conclusão sobre monotonicidade (interpretando o sinal de
):
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
Didática curta: sinal positivo de
significa que
sobe; sinal negativo significa que
desce. Testar pontos é o jeito prático em prova.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (máximos / mínimos relativos e absolutos). Calcular os valores da função nesses pontos:
Usar o comportamento de
ao redor dos críticos:
- Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ mínimo local. Como e para todo (é um quadrado), esse mínimo é também mínimo absoluto (valor mínimo global) igual a . - Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo local. Portanto é um máximo relativo com . Não é máximo absoluto porque quando . - Em
: muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local. Assim é mínimo local e, como , também é mínimo absoluto global.
Breve observação: também poderíamos usar a segunda derivada para classificar, mas a variação de sinal de
é direta e robusta.
Passo 6
Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Derivando :
Derivando
Resolver
para candidatos a ponto de inflexão:
Calcular
nesses pontos:
Verificar mudança de concavidade (sinal de
) para confirmar que são inflexões:
- Para
: ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: ⇒ (côncavo para cima).
Além disso,
é não nulo em
, o que confirma inflexão regular. Portanto os pontos de inflexão são
Passo 7
Resumo da concavidade em intervalos:
-
em e em ⇒ função côncava para cima nesses intervalos. -
em ⇒ função côncava para baixo nesse intervalo.
Didática: concavidade é ver se a curva “abre para cima” (como uma tigela) ou “abre para baixo” (como um teto). A derivada segunda indica isso:
abre para cima;
abre para baixo.
Passo 8
Verificar assíntotas verticais e horizontais.
- Assíntotas verticais ocorrem onde a função explode (por exemplo denomindor zero). Aqui
é polinomial e finita para todo ⇒ não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais analisam limites em infinito. Como é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, temos . Portanto não há assíntota horizontal (nem oblíqua): o gráfico cresce sem limite para .
Passo 9
Descrição do gráfico (para traçar na prova). Pontos e simetrias importantes:
- Função par:
(pois depende só de ), então é simétrica em relação ao eixo . - Zeros/raízes:
⇔ ⇔ . Esses são mínimos absolutos, pontos de contato com o eixo . - Comportamento próximo à origem:
, que é um máximo relativo (pico local) localizado entre os mínimos em e . - Inflexões em
, com altura , onde muda a curvatura. - Para
grandes, cresce como (subida rápida para ).
Forma intuitiva: é uma curva em “W” simétrica em torno do eixo
, com os dois poços (mínimos) tocando o eixo
em
e
, e um pequeno pico no meio em
com altura
. Fora desses detalhes centrais, a curva sobe rapidamente para
.
Passo 10
Determinar a imagem (contradomínio efetivo).
Sabendo que para todo
(é quadrado de algo real) e que
atinge o valor
em
, e que
, concluímos que a imagem é o intervalo
Sabendo que
Justificação curta: função contínua que assume mínimo absoluto
e cresce até
, então assume todos os valores não negativos.
Resposta
Domínio:
Pontos de máximo relativo: com
(máximo relativo).
Pontos de mínimo relativo e absoluto: e
com
(mínimos locais e mínimos absolutos igualmente).
Pontos de inflexão: e
.
Regiões de crescimento: e
.
Regiões de decrescimento: e
.
Concavidade: côncava para cima em ; côncava para baixo em
.
Assíntotas: nenhuma vertical e nenhuma horizontal (nenhuma assíntota).
Imagem: .
Pontos de máximo relativo:
Pontos de mínimo relativo e absoluto:
Pontos de inflexão:
Regiões de crescimento:
Regiões de decrescimento:
Concavidade: côncava para cima em
Assíntotas: nenhuma vertical e nenhuma horizontal (nenhuma assíntota).
Imagem: