Para cada uma das funções abaixo
, determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine (i) o domínio de
, (ii) as curvas de nível
, e por fim represente geometricamente esses conjuntos e esboce o gráfico da superfície. O conteúdo envolvido é análise de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível, mais a visualização de superfícies.
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver onde
está definido. Como a função seno existe para todo
e não há restrição em
, o domínio é
Passo 3
A curva de nível de nível
é
Se
, não há solução (curva de nível vazia). Se
, então as soluções em
são
e
fica livre em
.
Passo 4
Geometricamente, no plano
:
- O domínio é todo o plano.
- Cada curva de nível para
é um conjunto de retas horizontais , duas famílias periódicas ao longo de . - Não há curvas de nível para
.
Passo 5
O gráfico de
é uma “onda” senoidal que não depende de
. Em outras palavras, é uma superfície obtida elétronicamente ao extrudir o gráfico de
no plano
ao longo de todo o eixo
. As cristas (onde
) e vales (onde
) formam faixas paralelas ao eixo
, e a altura varia entre
e
.
Resposta
Domínio:
Curvas de nível:
Para ,
Para
que são retas horizontais.
Para , a curva de nível é vazia.
Para
Gráfico: superfície senoidal independente de
, com cristas e vales paralelos ao eixo
e altura em
.