Para cada uma das funções abaixo z=f(x, y), determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f.
f(x, y)=sen y

Passo 1

O enunciado pede, para a função
z = f(x,y) = sen y,
que a gente determine (i) o domínio de f, (ii) as curvas de nível (x,y)mid f(x,y)=c, e por fim represente geometricamente esses conjuntos e esboce o gráfico da superfície. O conteúdo envolvido é análise de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível, mais a visualização de superfícies.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde sen y está definido. Como a função seno existe para todo yinR e não há restrição em x, o domínio é
D = (x,y)inR^2 = R^2

Passo 3

A curva de nível de nível c é
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow sen y = c
Se lvert crvert>1, não há solução (curva de nível vazia). Se lvert crvert<=1, então as soluções em y são
y = arcsin(c) + 2pi k ou y = pi - arcsin(c) + 2pi k, kinZ,
e x fica livre em R.

Passo 4

Geometricamente, no plano xy:
  • O domínio é todo o plano.
  • Cada curva de nível para lvert crvert<=1 é um conjunto de retas horizontais y=constante, duas famílias periódicas ao longo de y.
  • Não há curvas de nível para lvert crvert>1.

Passo 5

O gráfico de z=sen y é uma “onda” senoidal que não depende de x. Em outras palavras, é uma superfície obtida elétronicamente ao extrudir o gráfico de z=sen y no plano yz ao longo de todo o eixo x. As cristas (onde sen y=1) e vales (onde sen y=-1) formam faixas paralelas ao eixo x, e a altura varia entre -1 e 1.

Resposta

Domínio:
D = R^2
Curvas de nível:
Para lvert crvert<=1,
(x,y)mid f(x,y)=c =l(x,y)mid y=arcsin(c)+2pi k ou y=pi-arcsin(c)+2pi k, kinZr,
que são retas horizontais.
Para lvert crvert>1, a curva de nível é vazia.
Gráfico: superfície senoidal independente de x, com cristas e vales paralelos ao eixo x e altura em [-1,1].

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