Use o método das séries de potências para resolver o PVI
l y^prime prime-2 x y^prime=0 y(0)=0, y^prime(0)=1
e expresse a solução até à sétima potência de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
y'' - 2x y' = 0
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação expressa como uma série de potências até a sétima potência de x . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0 :
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5 + a6 x^6 + a7 x^7 + dots
Aqui, a0, a1, dots, a7 são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de y(x) :
y'(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + 4a4 x^3 + 5a5 x^4 + 6a6 x^5 + 7a7 x^6 + dots
y''(x) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3 + 30a6 x^4 + 42a7 x^5 + dots

Passo 4

Vamos substituir y'(x) e y''(x) na equação diferencial:
y'' - 2x y' = 0
Substituindo:
2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3 + 30a6 x^4 + 42a7 x^5 + dots - 2x ( a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + 4a4 x^3 + 5a5 x^4 + 6a6 x^5 + 7a7 x^6 + dots ) = 0

Passo 5

Vamos distribuir o -2x dentro do parênteses:
2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3 + 30a6 x^4 + 42a7 x^5 + dots - 2a1 x - 4a2 x^2 - 6a3 x^3 - 8a4 x^4 - 10a5 x^5 - 12a6 x^6 - 14a7 x^7 - dots = 0

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
2a2 + (6a3 - 2a1)x + (12a4 - 4a2)x^2 + (20a5 - 6a3)x^3 + (30a6 - 8a4)x^4 + (42a7 - 10a5)x^5 + dots = 0

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo x , os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
2a2 = 0 6a3 - 2a1 = 0 12a4 - 4a2 = 0 20a5 - 6a3 = 0 30a6 - 8a4 = 0 42a7 - 10a5 = 0

Passo 8

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Mas antes, usamos as condições iniciais para encontrar alguns coeficientes.
Da condição y(0) = 0 :
y(0) = a0 = 0
Da condição y'(0) = 1 :
y'(0) = a1 = 1
Agora, substituímos esses valores no sistema:
  1. 2a2 = 0 a2 = 0
  2. 6a3 - 2(1) = 0 6a3 = 2 a3 = 13
  3. 12a4 - 4(0) = 0 a4 = 0
  4. 20a5 - 6(13) = 0 20a5 = 2 a5 = 110
  5. 30a6 - 8(0) = 0 a6 = 0
  6. 42a7 - 10(110) = 0 42a7 = 1 a7 = 142

Passo 9

Agora, temos todos os coeficientes necessários até x^7 :
a0 &= 0 a1 &= 1 a2 &= 0 a3 &= 13 a4 &= 0 a5 &= 110 a6 &= 0 a7 &= 142

Resposta

A solução do PVI, expressa até a sétima potência de x , é:
y(x) = 0 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 + 13 x^3 + 0 cdot x^4 + 110 x^5 + 0 cdot x^6 + 142 x^7
Simplificando:
y(x) = x + 13x^3 + 110x^5 + 142x^7

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