Use o método das séries de potências para resolver o PVI
e expresse a solução até à sétima potência de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação expressa como uma série de potências até a sétima potência de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de :
Passo 4
Vamos substituir e na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos distribuir o dentro do parênteses:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Mas antes, usamos as condições iniciais para encontrar alguns coeficientes.
Da condição y(0) = 0 :
y(0) = a0 = 0
Da condição y'(0) = 1 :
y'(0) = a1 = 1
Agora, substituímos esses valores no sistema:
2a2 = 0 → a2 = 0
6a3 - 2(1) = 0 → 6a3 = 2 → a3 = 13
12a4 - 4(0) = 0 → a4 = 0
20a5 - 6(13) = 0 → 20a5 = 2 → a5 = 110
30a6 - 8(0) = 0 → a6 = 0
42a7 - 10(110) = 0 → 42a7 = 1 → a7 = 142
Passo 9
Agora, temos todos os coeficientes necessários até x^7 :