Determine o domínio e represente graficamente
f(x, y)=raizx^2+y^2-1 ln (4-x^2-y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio da função f(x, y) = raizx^2+y^2-1 ln (4 - x^2 - y^2) e fazer um gráfico dela. Isso envolve entender quais valores de x e y fazem a função ser válida, ou seja, onde ela está bem-definida. Para isso, vamos precisar olhar as condições das duas partes da função: a raiz quadrada e o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da raiz quadrada: raizx^2 + y^2 - 1. Sabe que a coisa dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero, né? Então:
x^2 + y^2 - 1 >= 0
Isso significa que:
x^2 + y^2 >= 1
Esse é o primeiro requisito para o domínio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o logaritmo: ln (4 - x^2 - y^2). Lembra que o argumento do logaritmo tem que ser maior que zero. Portanto:
4 - x^2 - y^2 > 0
Simplificando:
x^2 + y^2 < 4
Esse é o segundo requisito para o domínio.

Passo 4

Então, pra função ser válida, ambas as condições têm que ser verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja:
1 <= x^2 + y^2 < 4
Isso quer dizer que os pontos (x, y) estão fora do círculo de raio 1 e dentro do círculo de raio 2, já que 4 = 2^2.

Passo 5

Agora, vamos representar isso graficamente. Imagina o plano cartesiano com dois círculos:
  1. Um círculo com centro na origem (0,0) e raio 1.
  2. Outro círculo com centro também na origem (0,0) e raio 2.
O domínio da função será a região que está entre esses dois círculos. Ou seja, todos os pontos que estão fora do primeiro círculo e dentro do segundo.

Resposta

O domínio da função f(x, y) = raizx^2+y^2-1 ln (4 - x^2 - y^2) é o conjunto de pontos (x, y) no plano que satisfazem:
1 <= x^2 + y^2 < 4
Graficamente, isso corresponde à anela circular entre os círculos de raio 1 e 2, ambos centrados na origem.

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