Determine o raio de convergência da série de potências
sumn=0^+infty 4^nn x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty 4^nnx^n
O conteúdo é “raio de convergência de série de potências” e vamos usar o teste da razão, que é a forma mais direta aqui.

Passo 2

Seja an=4^nn. No teste da razão, calculamos
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =limntoinfty|4^n+1/(n+1)4^n/n;x|

Passo 3

Simplificando a razão dos coeficientes:
an+1an =4^n+1/(n+1)4^n/n =4cdotnn+1
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L=limntoinfty4nn+1,|x| =4|x|

Passo 4

A série converge se L<1, ou seja
4|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac14
Portanto o raio de convergência é

Resposta

R=14

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