Use transformadas de Laplace para resolver o PVI
l y^prime prime-5 y^prime+6 y=0 y(0)=0, y^prime(0)=1
Sugestão: Use que
l a y^prime prime+b y^prime+c y=0 y(0)=y0, y^prime(0)=y0^prime Longrightarrow Ly(t)(s)=a y0 s+a y0^prime+b y0a s^2+b s+c

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'' - 5y' + 6y = 0, y(0)=0,;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. É um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
e depois frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando L à equação e usando Y(s)=Ly(t)(s), obtemos
s^2Y(s)-scdot0-1 ;-;5l(sY(s)-0r);+;6Y(s)=0
Agrupando Y(s),
(s^2-5s+6),Y(s)=1 Longrightarrow Y(s)=1s^2-5s+6

Passo 3

Fatoramos o denominador:
s^2-5s+6=(s-2)(s-3),
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Y(s)=1(s-2)(s-3)
Fazemos frações parciais
1(s-2)(s-3) =As-2+Bs-3,
onde
A(s-3)+B(s-2)=1
Igualando coeficientes:
A+B=0, -3A-2B=1 Longrightarrow A=-1,;B=1
Assim
Y(s)=-1s-2+1s-3

Passo 4

Invertemos a transformada usando L^-11/(s-a)=e^at:
y(t)=-e^2t+e^3t=e^3t-e^2t

Resposta

y(t)=e^3t-e^2t

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