Para cada uma das funções abaixo
, determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
– o domínio de ;
– as curvas de nível de ;
– a representação geométrica de cada um desses conjuntos;
– o esboço do gráfico de .
Vamos usar conceitos de domínio de função de duas variáveis, curvas de nível (nível – valor constante de ) e caracterização de superfícies por equações.
– o domínio de
– as curvas de nível de
– a representação geométrica de cada um desses conjuntos;
– o esboço do gráfico de
Vamos usar conceitos de domínio de função de duas variáveis, curvas de nível (nível – valor constante de
Passo 2
Para achar o domínio, analisamos a raiz: o radicando
deve ser não-negativo. Como
para todo
, a raiz está sempre bem definida. Logo o domínio é
que geometricamente é todo o plano
.
Passo 3
Definimos a curva de nível de nível
por
Impondo
obtemos
Como a raiz é
, precisamos
, ou seja
. Elevando ao quadrado:
Portanto, para cada
,
é o círculo de centro
e raio
. Para
, não há pontos nível.
Passo 4
Geometricamente:
– o domínio é todo o plano
;
– as curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, de raio crescente conforme aumenta, começando em raio zero para
.
– o domínio
– as curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, de raio crescente conforme
Passo 5
Para esboçar o gráfico, note que
e elevando ao quadrado
Essa é a equação de um cone de vértice
que se abre para cima com geratrizes de inclinação
. Assim, o gráfico de
é exatamente essa superfície cônica.
Resposta
Domínio:
Curvas de nível: para cada
,
e para
,
.