Para cada uma das funções abaixo z=f(x, y), determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f.
f(x, y)=2+raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2+raizx^2+y^2
e pede:
– o domínio de f;
– as curvas de nível de f;
– a representação geométrica de cada um desses conjuntos;
– o esboço do gráfico de f.
Vamos usar conceitos de domínio de função de duas variáveis, curvas de nível (nível – valor constante de z) e caracterização de superfícies por equações.

Passo 2

Para achar o domínio, analisamos a raiz: o radicando x^2+y^2 deve ser não-negativo. Como
x^2+y^2>=0
para todo (x,y)inR^2, a raiz está sempre bem definida. Logo o domínio é
D=R^2,
que geometricamente é todo o plano xy.

Passo 3

Definimos a curva de nível de nível k por
Lk=(x,y)inR^2mid f(x,y)=k
Impondo 2+raizx^2+y^2=k obtemos
raizx^2+y^2=k-2
Como a raiz é >=0, precisamos k-2>=0, ou seja k>=2. Elevando ao quadrado:
x^2+y^2=(k-2)^2
Portanto, para cada k>=2, Lk é o círculo de centro (0,0) e raio k-2. Para k<2, não há pontos nível.

Passo 4

Geometricamente:
– o domínio D é todo o plano xy;
– as curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, de raio crescente conforme k aumenta, começando em raio zero para k=2.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que
z-2=raizx^2+y^2,
e elevando ao quadrado
(z-2)^2=x^2+y^2, z>=2
Essa é a equação de um cone de vértice (0,0,2) que se abre para cima com geratrizes de inclinação 45^circ. Assim, o gráfico de f é exatamente essa superfície cônica.

Resposta

Domínio:
D=R^2
Curvas de nível: para cada k>=2,
Lk:;x^2+y^2=(k-2)^2,
e para k<2, Lk=varnothing.

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