Calcule a transformada de Laplace da função f(t)=(t+1)^2. Sugestão: Use a linearidade da transformada de Laplace e o fato que
Lt^n(s)=n!s^n+1, n in N

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=(t+1)^2. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformada de Laplace, a propriedade de linearidade
e a fórmula dada
Lt^n(s)=n!s^n+1, ninN

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado para deixar a função em termos de potências de t:
f(t)=(t+1)^2=t^2+2t+1

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
Lf(t)(s) =Lt^2(s)+2,Lt(s)+L1(s)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula Lt^n(s)=n!/s^n+1 aos três termos:
Lt^2(s)=2!s^3=2s^3, Lt(s)=1!s^2=1s^2, L1(s)=0!s=1s

Passo 5

Somando os três resultados e simplificando, obtemos
L(t+1)^2(s) =2s^3+2cdot1s^2+1s =2+2s+s^2s^3 =s^2+2s+2s^3

Resposta

L(t+1)^2(s)=s^2+2s+2s^3

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