Produtos notáveis e fatoração.
Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a^3 x^2m^2+m y^2x)^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente expanda e depois refatore o cubo de uma soma
(a^3 x^2m^2+m y^2x)^3
O conteúdo é produtos notáveis (cubo de soma) e fatoração.

Passo 2

Definimos
u = a^3 x^2m^2, v = m y^2x,
e usamos a fórmula do cubo de uma soma:
(u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3u v^2 + v^3

Passo 3

Calculamos os cubos puros:
u^3 = (a^3 x^2m^2)^3 = a^9 x^6m^6, v^3 = (m y^2x)^3 = m^3 y^6x^3

Passo 4

Agora os termos cruzados:
3u^2v = 3 cdot a^6 x^4m^4 cdot m y^2x = 3a^6 x^3 y^2m^3,
3u v^2 = 3 cdot a^3 x^2m^2 cdot m^2 y^4x^2 = 3a^3 y^4

Passo 5

Juntando tudo, a expansão fica
a^9 x^6m^6 + 3a^6 x^3 y^2m^3 + 3a^3 y^4 + m^3 y^6x^3

Passo 6

Para refatorar, basta reconhecer que essa soma é exatamente a aplicação da fórmula (u+v)^3 acima. Logo a fatoração é
(a^3 x^2m^2+m y^2x)^3,
que coincide com a expressão original.

Resposta

(a)
a^9 x^6m^6 + 3a^6 x^3 y^2m^3 + 3a^3 y^4 + m^3 y^6x^3
(b)
(a^3 x^2m^2+m y^2x)^3

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