Para cada uma das funções abaixo z=f(x, y), determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f.
f(x, y)=x^2+9 y^2

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=x^2+9y^2,
que a gente encontre (1) o domínio de definição, (2) as curvas de nível, (3) represente geometricamente cada um desses conjuntos e (4) esboce o gráfico de f. O conteúdo aqui é domínio de funções de duas variáveis, nível de contorno e esboço de superfícies em R^3.

Passo 2

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, não há restrição nenhuma: podemos pôr qualquer par (x,y)in R^2. Logo o domínio é
l(x,y)mid xin R,;yin Rr= R^2

Passo 3

Uma curva de nível de valor c é o conjunto
(x,y)mid f(x,y)=c
ou seja
(x,y)mid x^2+9y^2=c
Se c<0 não há solução; se c=0 só temos (0,0); se c>0 isso é a equação de uma elipse centrada em (0,0).

Passo 4

Para c>0 podemos escrever
x^2c+y^2c/9=1,
logo a elipse tem semi-eixo em x de comprimento raizc e em y de comprimento raizc/9=tfrac13raizc. Conforme c cresce as elipses se expandem; para c=0 só o ponto (0,0). No plano xy teríamos uma família de elipses concêntricas com “bowl” mais apertado no eixo y.

Passo 5

O gráfico de f em R^3 é a superfície
z=x^2+9y^2,
que é um paraboloide elíptico abrindo para cima. Cortes por planos z=c dão as elipses do passo anterior; cortes por planos y=constante ou x=constante são parábolas. O esboço mostra um “bowl” mais “estreito” na direção y (pois o coeficiente 9 faz crescer mais rápido).

Resposta

Domínio:
Gráfico: paraboloide elíptico (z=x2+9y2].

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