Para cada uma das funções abaixo
, determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente encontre (1) o domínio de definição, (2) as curvas de nível, (3) represente geometricamente cada um desses conjuntos e (4) esboce o gráfico de
. O conteúdo aqui é domínio de funções de duas variáveis, nível de contorno e esboço de superfícies em
.
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, não há restrição nenhuma: podemos pôr qualquer par
. Logo o domínio é
Passo 3
Uma curva de nível de valor
é o conjunto
ou seja
Se
não há solução; se
só temos
; se
isso é a equação de uma elipse centrada em
.
Passo 4
Para
podemos escrever
logo a elipse tem semi-eixo em
de comprimento
e em
de comprimento
. Conforme
cresce as elipses se expandem; para
só o ponto
. No plano
teríamos uma família de elipses concêntricas com “bowl” mais apertado no eixo
.
Passo 5
O gráfico de
em
é a superfície
que é um paraboloide elíptico abrindo para cima. Cortes por planos
dão as elipses do passo anterior; cortes por planos
ou
são parábolas. O esboço mostra um “bowl” mais “estreito” na direção
(pois o coeficiente 9 faz crescer mais rápido).
Resposta
Domínio:
Gráfico: paraboloide elíptico (z=x2+9y2].