Nos exercícios de 1 a 11 calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
onde
é o quadrado de vértices
. ( 1,1 e e ( 0,1 ) no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral sobre uma curva
, que é um quadrado com vértices em
,
,
e
, percorrida no sentido horário. Precisamos calcular:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha ao redor de
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
- Derivada de
em relação a :
(Explicação: A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é 0 porque não depende de
.)
- Derivada de
em relação a :
(Explicação: A derivada de
em relação a
é 0 porque não depende de
, e a derivada de
é
.)
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o quadrado de
de 0 a 1 e
de 0 a 1.
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração para a integral dupla. Como
é o quadrado com
variando de 0 a 1 e
de 0 a 1, podemos escrever:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral curvilínea vale 0.