Nos exercícios de 1 a 11 calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
oint[(e^1^prime+y^2) d x+(x+raiz1+y^2) d y] onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0). ( 1,1 e e ( 0,1 ) no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral curvilínea usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral sobre uma curva C , que é um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrida no sentido horário. Precisamos calcular:
oint[(e^x + y^2) dx + (x + raiz1 + y^2) dy]
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a integral de linha ao redor de C pode ser convertida em uma integral dupla sobre D :
ointC (M,dx + N,dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Aqui, M = e^x + y^2 e N = x + raiz1 + y^2 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
  1. Derivada de N em relação a x :
partial Npartial x = partialpartial x ( x + raiz1 + y^2 ) = 1 + 0 = 1
(Explicação: A derivada de x em relação a x é 1, e a derivada de raiz1 + y^2 em relação a x é 0 porque não depende de x .)
  1. Derivada de M em relação a y :
partial Mpartial y = partialpartial y ( e^x + y^2 ) = 0 + 2y = 2y
(Explicação: A derivada de e^x em relação a y é 0 porque não depende de y , e a derivada de y^2 é 2y .)

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC (M,dx + N,dy) = integral duplaD ( 1 - 2y ) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D , que é o quadrado de x de 0 a 1 e y de 0 a 1.

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração para a integral dupla. Como D é o quadrado com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 1, podemos escrever:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = integralx=0^1 integraly=0^1 (1 - 2y) , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a y :
integraly=0^1 (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]0^1 = (1 - 1) - (0 - 0) = 0
Agora, integramos em relação a x :
integralx=0^1 0 , dx = 0

Resposta

A integral curvilínea vale 0.

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