Esboce o mapa de contorno das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
O conteúdo é “curvas de nível em coordenadas cartesianas”, mas aqui a função depende apenas de
, então veremos que as curvas de nível são círculos concêntricos.
Passo 2
Para traçar curvas de nível, fixamos
e resolvemos
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Como
, faz sentido apenas para
, isto é, para
. Portanto as curvas de nível existem só para
.
Passo 3
Escolhemos alguns valores de
maiores que 1 e calculamos o raio
:
Isso nos dá cinco círculos concêntricos de raios
,
,
,
e
, correspondentes aos níveis
.
Passo 4
No esboço:
- O centro de todos os círculos é a origem
. - Quanto maior
, menor o raio. Como quando , as curvas ficam muito próximas da origem para valores altos de . - Quando
, , então não há curvas para .
O mapa de contorno é, portanto, uma família de círculos concêntricos com distribuição mais densa perto da origem e espaçamento maior à medida que
cresce.
Resposta
As curvas de nível de
com
. Exemplos de curvas:
No esboço, basta desenhar esses círculos concêntricos de raios (0{,}5,1,2,3,4].