Esboce o mapa de contorno das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:
f(x, y)=e^1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=e^1x^2+y^2
O conteúdo é “curvas de nível em coordenadas cartesianas”, mas aqui a função depende apenas de r^2=x^2+y^2, então veremos que as curvas de nível são círculos concêntricos.

Passo 2

Para traçar curvas de nível, fixamos
f(x,y)=c(c>0)
e resolvemos
e^1x^2+y^2=c
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
1x^2+y^2=ln c
Logo
x^2+y^2=1ln c
Como x^2+y^2>=0, faz sentido apenas para ln c>0, isto é, para c>1. Portanto as curvas de nível existem só para c>1.

Passo 3

Escolhemos alguns valores de c maiores que 1 e calculamos o raio r=raizx^2+y^2:
c &= e^4Longrightarrow r = raiz14=tfrac12, c &= e^1Longrightarrow r = raiz11=1, c &= e^tfrac14Longrightarrow r = raiz1tfrac14=2, c &= e^tfrac19Longrightarrow r = raiz1tfrac19=3, c &= e^tfrac116Longrightarrow r = raiz1tfrac116=4
Isso nos dá cinco círculos concêntricos de raios 0,5, 1, 2, 3 e 4, correspondentes aos níveis c=e^4,e,e^1/4,e^1/9,e^1/16.

Passo 4

No esboço:
  • O centro de todos os círculos é a origem (0,0).
  • Quanto maior c, menor o raio. Como ftoinfty quando (x,y)to(0,0), as curvas ficam muito próximas da origem para valores altos de c.
  • Quando rtoinfty, fto e^0=1, então não há curvas para c<=1.
O mapa de contorno é, portanto, uma família de círculos concêntricos com distribuição mais densa perto da origem e espaçamento maior à medida que r cresce.

Resposta

As curvas de nível de
com . Exemplos de curvas:
No esboço, basta desenhar esses círculos concêntricos de raios (0{,}5,1,2,3,4].

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