Para cada uma das funções abaixo z=f(x, y), determine o domínio e as curvas de nível. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f.
f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2
e pede:
– o domínio em (x,y);
– as curvas de nível;
– representação geométrica desses conjuntos;
– esboço do gráfico de f.

Passo 2

Para determinar o domínio, lembramos que o argumento da raiz deve ser não negativo:
36-9x^2-4y^2 >= 0 Longrightarrow 9x^2+4y^2 <= 36
Essa desigualdade define uma elipse centrada na origem. Logo, o domínio é
D = (x,y)mid 9x^2+4y^2 <= 36

Passo 3

As curvas de nível correspondem a fixar f(x,y)=k, com k>=0. Assim:
raiz36-9x^2-4y^2=k ;Longrightarrow; 36-9x^2-4y^2 = k^2 ;Longrightarrow; 9x^2+4y^2 = 36 - k^2
Para que essa elipse exista, precisamos de 36-k^2>=0, ou seja 0<= k<=6. Cada nível k gera uma elipse
x^2tfrac36-k^29 + y^2tfrac36-k^24 = 1

Passo 4

Geometricamente:
– O domínio é o disco elíptico 9x^2+4y^2<=36, cujo contorno é a elipse de semi-eixos 2 (em x) e 3 (em y).
– As curvas de nível são elipses concêntricas dentro desse disco, que encolhem à medida que k cresce de 0 até 6. Para k=0 temos a elipse de contorno; para k=6 só o ponto (0,0).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que
z = raiz36-9x^2-4y^2 ;Longrightarrow; z^2 + 9x^2 +4y^2 =36 ;Longrightarrow; x^24 + y^29 + z^236 =1
Isso é um elipsoide centrado na origem, e f dá a metade superior ( z>=0). Portanto o gráfico é uma “cúpula” elipsoidal de semi-eixos 2, 3 e 6.

Resposta

Domínio:
D=(x,y)mid 9x^2+4y^2<=36
Curvas de nível: para cada kin[0,6],
f(x,y)=k Long<=ftrightarrow 9x^2+4y^2=36-k^2,
que são elipses concêntricas no plano xy.
Gráfico de f: metade superior do elipsoide
x^24+y^29+z^236=1, z>=0

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