Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
h) f(x)=(x+1x)^2

Passo 1

Beleza, temos que calcular a derivada da função f(x) = (x + 1x)^2 . Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia e a regra da soma para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é uma composição de funções. Ou seja, temos uma função dentro de outra. Aqui, nossa função externa é algo elevado ao quadrado e a função interna é u(x) = x + 1x . Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta f(u(x)) é f'(u(x)) cdot u'(x) .

Passo 3

Agora, vamos derivar a função interna u(x) = x + 1x . Para isso, usamos a regra da soma, que nos permite derivar cada termo separadamente:
u'(x) = ddx(x) + ddx(1x)
Sabemos que a derivada de x é 1 e a derivada de 1x é -1x^2 . Então:
u'(x) = 1 - 1x^2

Passo 4

Voltando à regra da cadeia, sabemos que a derivada da função externa (u(x))^2 é 2 cdot u(x) . Então, aplicando tudo:
f'(x) = 2 cdot (x + 1x) cdot (1 - 1x^2)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2(x + 1x)(1 - 1x^2)

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