Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que se determine:
- o domínio de
; - os pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem;
- os pontos de inflexão;
- as regiões de crescimento e decrescimento;
- o estudo da concavidade (onde é côncava para cima/baixo);
- se existem assíntotas verticais e/ou horizontais;
- a imagem (conjunto de valores) de
; - e que se trace/descrição do gráfico indicando os pontos importantes.
Informações dadas: a própria expressão da função
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Domínio: explicar por que o domínio é todo
.
- A função
é um polinômio (soma de potências inteiras não-negativas de com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para todo número real. - Logo o domínio é
.
Passo 3
Derivada primeira: explico a técnica e calculo.
- Regra usada: regra do poder (derivada de
é ). - Aplicando a regra a
obtemos:
- Fatorando para facilitar a análise:
A derivada dá a taxa de variação instantânea; zeros de
são candidatos a extremos ou pontos estacionários.
Passo 4
Encontrar os pontos críticos (soluções de
).
- Resolver
. - Das duas parcelas:
. E . - Portanto os pontos críticos são
e .
Passo 5
Classificar crescimento/decrescimento por análise do sinal de
.
-
Como
, note que e é zero só em . O sinal de depende do fator : - Se
então e, como , . - Se
então e, com , tem-se (igual a zero apenas em ).
- Se
-
Assim fazemos o quadro de sinais (em termos de intervalos):
- Para
: (função crescente). - Para
: (decrescente). - Para
: (decrescente). - Para
: (crescente).
- Para
-
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
-
Passo 6
Determinar máximos/minimos relativos usando as mudanças de sinal de
e calcular os valores.
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ ponto de máximo relativo. - Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ ponto de mínimo relativo. - Em
: não muda de sinal (é negativo à esquerda e à direita), então é ponto crítico mas não é extremo; é ponto estacionário de inflexão (veremos a concavidade).
Agora os valores de
nesses pontos. Seja
. Usando a forma factorada
podemos calcular:
Como
, temos
Analogamente,
Valores numéricos aproximados (para intuição):
Passo 7
Existem máximos/minimos absolutos?
- Como
é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo ( domina), tem comportamento: - Assim não existe máximo absoluto (a função cresce para
) nem mínimo absoluto (vai para ). Portanto apenas os extremos relativos encontrados valem.
Passo 8
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
- Calcular
pela derivação de :
- Fatorando:
A derivada segunda dá informação sobre concavidade:
⇒ concavidade para cima;
⇒ concavidade para baixo. Pontos onde
são candidatos a pontos de inflexão (precisa haver troca de sinal).
Passo 9
Encontrar pontos onde
e estudar concavidade por intervalos.
- Resolver
ou . - Denotando
, os candidatos são .
Estudo do sinal de
:
-
Para
(por exemplo ): e ⇒ ⇒ côncavo para baixo. -
Para
(por exemplo ): e ⇒ ⇒ côncavo para cima. -
Para
(por exemplo ): e ⇒ ⇒ côncavo para baixo. -
Para
(por exemplo ): e ⇒ ⇒ côncavo para cima. -
Portanto a concavidade muda nos três pontos
. Logo todos são pontos de inflexão (a concavidade troca de sinal em cada um).
Calcular os valores de
nesses pontos:
- Para
:
Assim
- Em
: .
Valores aproximados:
Observação importante sobre
: além de ser ponto de inflexão (troca de concavidade), é ponto estacionário porque
. É, portanto, um ponto de inflexão com tangente horizontal.
Passo 10
Assíntotas verticais/horizontais/oblíquas.
- Assíntotas verticais ocorrem quando a função não está definida e tende a infinito em pontos finitos; aqui a função é polinomial e está definida em todo
. Portanto não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais dão limites finitos quando
. Mas para polinômios de grau maior que zero, os limites são (dependendo do grau e do coeficiente líder). Aqui e , logo não há assíntotas horizontais. - Assíntotas oblíquas (reta
que aproxima quando ) só fazem sentido para funções que tendem linearmente; polinômios de grau não têm assíntota oblíqua no sentido usual (a própria função cresce mais rápido que uma reta). Portanto não há assíntotas oblíquas relevantes — a função é um polinômio e seu comportamento assintótico é dado pelo termo líder .
Passo 11
Interceptos e comportamento global (ajuda para esboçar o gráfico).
- Zeros/raízes de
: fatorando obtemos raízes em . Observações: - Em
e as raízes são simples (a curva atravessa o eixo ). - Em
a raiz é de multiplicidade : a curva toca/atravessa o eixo com achatamento (tangente horizontal ali), comportamento típico de multiplicidade ímpar >1.
- Em
- Comportamento nas extremidades:
- Pontos importantes para marcar no esboço:
- Zeros:
. - Máximo relativo:
. - Mínimo relativo:
. - Pontos de inflexão:
.
- Zeros:
Essas informações permitem desenhar qualitativamente o gráfico: curva que vem de
, sobe até o máximo relativo em
, desce atravessando
, continua descendo com mudança de concavidade em
, atinge ponto de inflexão e tangente horizontal em
(sem extremum absoluto), segue decrescendo até o mínimo relativo em
, depois sobe e tende a
. Marcar regiões de concavidade conforme o estudo do Passo 9.
Passo 12
Imagem (conjunto de valores possíveis de
).
- A função é contínua em
(polinômio) e possui limites e . - Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que vai a
de um lado e do outro assume todos os valores reais. - Portanto a imagem (contradomínio atingido) é
.
Resposta
Domínio:
.
Crescimento:
e
.
Decrescimento:
.
Máximo relativo:
com valor
.
Mínimo relativo:
com valor
.
Não há máximo nem mínimo absolutos (a função é não limitada:
).
Pontos de inflexão:
com valores
Concavidade:
- Côncava para baixo em
e em . - Côncava para cima em
e em .
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas relevantes) —
é polinômio.
Interceptos/zeros:
(com multiplicidade
em
).
Imagem:
.