Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=x^{5}-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^{5}-x^{3},
que se determine:
  • o domínio de f;
  • os pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem;
  • os pontos de inflexão;
  • as regiões de crescimento e decrescimento;
  • o estudo da concavidade (onde é côncava para cima/baixo);
  • se existem assíntotas verticais e/ou horizontais;
  • a imagem (conjunto de valores) de f;
  • e que se trace/descrição do gráfico indicando os pontos importantes.
Informações dadas: a própria expressão da função \,f(x)=x^{5}-x^{3}\,. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Domínio: explicar por que o domínio é todo \mathbb{R}.
  • A função f é um polinômio (soma de potências inteiras não-negativas de x com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para todo número real.
  • Logo o domínio é \displaystyle \mathbb{R}.

Passo 3

Derivada primeira: explico a técnica e calculo.
  • Regra usada: regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}).
  • Aplicando a regra a f(x)=x^{5}-x^{3} obtemos:
f'(x)=5x^{4}-3x^{2}.
  • Fatorando para facilitar a análise:
f'(x)=x^{2}(5x^{2}-3).
A derivada dá a taxa de variação instantânea; zeros de f' são candidatos a extremos ou pontos estacionários.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos (soluções de f'(x)=0).
  • Resolver x^{2}(5x^{2}-3)=0.
  • Das duas parcelas: x^{2}=0\Rightarrow x=0. E 5x^{2}-3=0\Rightarrow x^{2}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}.
  • Portanto os pontos críticos são x=0 e x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}.

Passo 5

Classificar crescimento/decrescimento por análise do sinal de f'.
  • Como f'(x)=x^{2}(5x^{2}-3), note que x^{2}\ge0 e é zero só em x=0. O sinal de f' depende do fator 5x^{2}-3:
    • Se x^{2}>\dfrac{3}{5} então 5x^{2}-3>0 e, como x^{2}\ge0, f'(x)>0.
    • Se x^{2}<\dfrac{3}{5} então 5x^{2}-3<0 e, com x^{2}\ge0, tem-se f'(x)\le 0 (igual a zero apenas em x=0).
  • Assim fazemos o quadro de sinais (em termos de intervalos):
    • Para x<-\sqrt{\dfrac{3}{5}}: x^{2}>\dfrac{3}{5}\Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
    • Para -\sqrt{\dfrac{3}{5}}<x<0: x^{2}<\dfrac{3}{5}\Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
    • Para 0<x<\sqrt{\dfrac{3}{5}}: x^{2}<\dfrac{3}{5}\Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
    • Para x>\sqrt{\dfrac{3}{5}}: x^{2}>\dfrac{3}{5}\Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
  • Conclusão sobre monotonicidade:
    • f é crescente em \left(-\infty,-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right) e em \left(\sqrt{\dfrac{3}{5}},+\infty\right).
    • f é decrescente em \left(-\sqrt{\dfrac{3}{5}},\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right).

Passo 6

Determinar máximos/minimos relativos usando as mudanças de sinal de f' e calcular os valores.
  • Em x=-\sqrt{\dfrac{3}{5}}: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ ponto de máximo relativo.
  • Em x=+\sqrt{\dfrac{3}{5}}: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) ⇒ ponto de mínimo relativo.
  • Em x=0: f' não muda de sinal (é negativo à esquerda e à direita), então x=0 é ponto crítico mas não é extremo; é ponto estacionário de inflexão (veremos a concavidade).
Agora os valores de f nesses pontos. Seja s=\sqrt{\dfrac{3}{5}}. Usando a forma factorada f(x)=x^{3}(x^{2}-1) podemos calcular:
f(s)=s^{3}(s^{2}-1)=s^{3}\!\left(\dfrac{3}{5}-1\right)=s^{3}\!\left(-\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{2}{5}s^{3}.
Como s^{3}=s\cdot s^{2}=s\cdot\dfrac{3}{5}, temos
f\!\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)=-\dfrac{2}{5}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)s=-\dfrac{6}{25}\,s=-\dfrac{6}{25}\sqrt{\dfrac{3}{5}}.
Analogamente,
f\!\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)=+\dfrac{6}{25}\sqrt{\dfrac{3}{5}}.
Valores numéricos aproximados (para intuição):
\sqrt{\dfrac{3}{5}}\approx 0,7745967,\qquad f\!\left(-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\approx 0,18590,\qquad f\!\left(\sqrt{\tfrac{3}{5}}\right)\approx -0,18590.

Passo 7

Existem máximos/minimos absolutos?
  • Como f é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo ( x^{5} domina), tem comportamento: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
  • Assim não existe máximo absoluto (a função cresce para +\infty) nem mínimo absoluto (vai para -\infty). Portanto apenas os extremos relativos encontrados valem.

Passo 8

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão.
  • Calcular f''(x) pela derivação de f'(x)=5x^{4}-3x^{2}:
f''(x)=20x^{3}-6x.
  • Fatorando:
f''(x)=2x(10x^{2}-3).
A derivada segunda dá informação sobre concavidade: f''>0 ⇒ concavidade para cima; f''<0 ⇒ concavidade para baixo. Pontos onde f''=0 são candidatos a pontos de inflexão (precisa haver troca de sinal).

Passo 9

Encontrar pontos onde f''(x)=0 e estudar concavidade por intervalos.
  • Resolver 2x(10x^{2}-3)=0\Rightarrow x=0 ou 10x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{10}}.
  • Denotando t=\sqrt{\dfrac{3}{10}}\approx 0,5477226, os candidatos são x=-t,\;0,\;+t.
Estudo do sinal de f'':
  • Para x<-t (por exemplo x=-1): x<0 e 10x^{2}-3>0 f''(x)<0 ⇒ côncavo para baixo.
  • Para -t<x<0 (por exemplo x=-0,3): x<0 e 10x^{2}-3<0 f''(x)>0 ⇒ côncavo para cima.
  • Para 0<x<t (por exemplo x=0,3): x>0 e 10x^{2}-3<0 f''(x)<0 ⇒ côncavo para baixo.
  • Para x>t (por exemplo x=1): x>0 e 10x^{2}-3>0 f''(x)>0 ⇒ côncavo para cima.
  • Portanto a concavidade muda nos três pontos x=-t,\;0,\;t. Logo todos são pontos de inflexão (a concavidade troca de sinal em cada um).
Calcular os valores de f nesses pontos:
  • Para x=t:
f(t)=t^{5}-t^{3}=t^{3}(t^{2}-1)=t^{3}\!\left(\dfrac{3}{10}-1\right)=-\dfrac{7}{10}\,t^{3}=-\dfrac{21}{100}\,t.
Assim
f\!\left(\pm\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right)=\mp\dfrac{21}{100}\sqrt{\tfrac{3}{10}}.
  • Em x=0: f(0)=0.
Valores aproximados:
f\!\left(\pm\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right)\approx \pm 0,11502,\qquad f(0)=0.
Observação importante sobre x=0: além de ser ponto de inflexão (troca de concavidade), é ponto estacionário porque f'(0)=0. É, portanto, um ponto de inflexão com tangente horizontal.

Passo 10

Assíntotas verticais/horizontais/oblíquas.
  • Assíntotas verticais ocorrem quando a função não está definida e tende a infinito em pontos finitos; aqui a função é polinomial e está definida em todo \mathbb{R}. Portanto não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais dão limites finitos quando x\to\pm\infty. Mas para polinômios de grau maior que zero, os limites são \pm\infty (dependendo do grau e do coeficiente líder). Aqui \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, logo não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas (reta y=ax+b que aproxima f(x) quando x\to\pm\infty) só fazem sentido para funções que tendem linearmente; polinômios de grau >1 não têm assíntota oblíqua no sentido usual (a própria função cresce mais rápido que uma reta). Portanto não há assíntotas oblíquas relevantes — a função é um polinômio e seu comportamento assintótico é dado pelo termo líder x^{5}.

Passo 11

Interceptos e comportamento global (ajuda para esboçar o gráfico).
  • Zeros/raízes de f: fatorando f(x)=x^{3}(x-1)(x+1) obtemos raízes em x=-1,\,0,\,1. Observações:
    • Em x=-1 e x=1 as raízes são simples (a curva atravessa o eixo x).
    • Em x=0 a raiz é de multiplicidade 3: a curva toca/atravessa o eixo com achatamento (tangente horizontal ali), comportamento típico de multiplicidade ímpar >1.
  • Comportamento nas extremidades: x\to -\infty \Rightarrow f(x)\to -\infty,\qquad x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty.
  • Pontos importantes para marcar no esboço:
    • Zeros: (-1,0),\,(0,0),\,(1,0).
    • Máximo relativo: \Big(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},\,\dfrac{6}{25}\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Big).
    • Mínimo relativo: \Big(\sqrt{\tfrac{3}{5}},\,-\dfrac{6}{25}\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Big).
    • Pontos de inflexão: \Big(-\sqrt{\tfrac{3}{10}},\,\dfrac{21}{100}\sqrt{\tfrac{3}{10}}\Big),\;(0,0),\;\Big(\sqrt{\tfrac{3}{10}},\,-\dfrac{21}{100}\sqrt{\tfrac{3}{10}}\Big).
Essas informações permitem desenhar qualitativamente o gráfico: curva que vem de -\infty, sobe até o máximo relativo em -\sqrt{3/5}, desce atravessando (-1,0), continua descendo com mudança de concavidade em -\sqrt{3/10}, atinge ponto de inflexão e tangente horizontal em 0 (sem extremum absoluto), segue decrescendo até o mínimo relativo em +\sqrt{3/5}, depois sobe e tende a +\infty. Marcar regiões de concavidade conforme o estudo do Passo 9.

Passo 12

Imagem (conjunto de valores possíveis de f).
  • A função é contínua em \mathbb{R} (polinômio) e possui limites \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
  • Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que vai a -\infty de um lado e +\infty do outro assume todos os valores reais.
  • Portanto a imagem (contradomínio atingido) é \displaystyle \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Crescimento: \left(-\infty,-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right) e \left(\sqrt{\dfrac{3}{5}},+\infty\right).
Decrescimento: \left(-\sqrt{\dfrac{3}{5}},\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right).
Máximo relativo: x=-\sqrt{\dfrac{3}{5}} com valor f\!\left(-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)=\dfrac{6}{25}\sqrt{\dfrac{3}{5}}.
Mínimo relativo: x=+\sqrt{\dfrac{3}{5}} com valor f\!\left(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)=-\dfrac{6}{25}\sqrt{\dfrac{3}{5}}.
Não há máximo nem mínimo absolutos (a função é não limitada: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty).
Pontos de inflexão:
x=-\sqrt{\dfrac{3}{10}},\quad x=0,\quad x=+\sqrt{\dfrac{3}{10}},
com valores
f\!\left(-\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right)=\dfrac{21}{100}\sqrt{\tfrac{3}{10}},\quad f(0)=0,\quad f\!\left(\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right)=-\dfrac{21}{100}\sqrt{\tfrac{3}{10}}.
Concavidade:
  • Côncava para baixo em \left(-\infty,-\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right) e em \left(0,\sqrt{\tfrac{3}{10}}\right).
  • Côncava para cima em \left(-\sqrt{\tfrac{3}{10}},0\right) e em \left(\sqrt{\tfrac{3}{10}},+\infty\right).
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas relevantes) — f é polinômio.
Interceptos/zeros: (-1,0),\,(0,0),\,(1,0) (com multiplicidade 3 em x=0).
Imagem: \mathbb{R}.

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