Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação dada:
- Determinar a ordem da equação.
- Determinar se a equação é linear ou não.
A equação fornecida é
As informações explícitas que temos são os termos presentes:
,
e
. Não há outras informações sobre o que é exatamente
(se é a variável independente ou outra função), então usarei a interpretação padrão para classificar a ordem e a linearidade e, quando relevante, discutirei a outra possibilidade.
Passo 2
Definição e aplicação para ordem.
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
Aqui a função incógnita é
(escrito
, por exemplo) e aparecem as derivadas
e
. A maior derivada presente é
, que é de segunda ordem. Logo a ordem da equação é
Passo 3
Definição e critérios para linearidade (explicação didática).
Uma equação diferencial ordinária de ordem
é dita linear se pode ser escrita na forma
onde:
-
é a função incógnita (dependente) e é a variável independente; - os coeficientes
e o termo de termo independente podem depender apenas da variável independente , mas não podem depender de nem de suas derivadas; - “linear” significa que
e suas derivadas aparecem apenas em potência (sem produtos entre elas, sem termos como , sem funções não lineares de como , , , etc.).
Regra prática: se aparece algum produto envolvendo a incógnita ou suas derivadas, ou alguma função não linear da incógnita (ex.:
,
), a equação é não linear.
Passo 4
Aplicando o critério de linearidade à equação dada, analisando termo a termo.
A equação é
- O termo
aparece de forma linear (potência 1, sem multiplicar por funções de ou de ). - O termo
: se for apenas a variável independente (por exemplo renomeado para ), então é permitido como coeficiente dependente apenas da variável independente e esse termo seria compatível com linearidade (seria como ). Porém, se representar outra função desconhecida (ou envolver ), então o coeficiente não depende apenas da variável independente e a equação se torna acoplada/não linear por dependência em outras incógnitas. - O termo à direita,
, é uma função não linear de . Isso por si só quebra a linearidade: numa equação linear o lado não homogêneo não pode depender de . Aqui depende de , e não de somente da variável independente.
Portanto, independentemente da interpretação de
(se
for variável independente ou outra função), o termo
torna a equação não linear, pois é uma função não linear da incógnita
.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia (didática curta e prática).
- Exemplo de equação linear de segunda ordem:
Aqui
dependem só da variável independente
.
- Exemplo de equação não linear (semelhante à dada):
a presença de
multiplicando
e de
mostra claramente a não linearidade.
No nosso caso a presença de
na equação é suficiente para classificá‑la como não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear