Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
x^{\prime \prime}+y x^{\prime}=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação dada:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Determinar se a equação é linear ou não.
A equação fornecida é
x^{\prime\prime} + y\,x^{\prime} = \operatorname{sen}(x).
As informações explícitas que temos são os termos presentes: x^{\prime\prime}, y\,x^{\prime} e \operatorname{sen}(x). Não há outras informações sobre o que é exatamente y (se é a variável independente ou outra função), então usarei a interpretação padrão para classificar a ordem e a linearidade e, quando relevante, discutirei a outra possibilidade.

Passo 2

Definição e aplicação para ordem.
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação.
Aqui a função incógnita é x (escrito x(t), por exemplo) e aparecem as derivadas x^{\prime} e x^{\prime\prime}. A maior derivada presente é x^{\prime\prime}, que é de segunda ordem. Logo a ordem da equação é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

Definição e critérios para linearidade (explicação didática).
Uma equação diferencial ordinária de ordem n é dita linear se pode ser escrita na forma
a_n(t)\,x^{(n)} + a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = g(t),
onde:
  • x é a função incógnita (dependente) e t é a variável independente;
  • os coeficientes a_i(t) e o termo de termo independente g(t) podem depender apenas da variável independente t, mas não podem depender de x nem de suas derivadas;
  • “linear” significa que x e suas derivadas aparecem apenas em potência 1 (sem produtos entre elas, sem termos como (x')^2, sem funções não lineares de x como \sin(x), e^{x}, x\cdot x', etc.).
Regra prática: se aparece algum produto envolvendo a incógnita ou suas derivadas, ou alguma função não linear da incógnita (ex.: \sin(x), x^2), a equação é não linear.

Passo 4

Aplicando o critério de linearidade à equação dada, analisando termo a termo.
A equação é
x^{\prime\prime} + y\,x^{\prime} = \operatorname{sen}(x).
  • O termo x^{\prime\prime} aparece de forma linear (potência 1, sem multiplicar por funções de x ou de x').
  • O termo y\,x^{\prime}: se y for apenas a variável independente (por exemplo t renomeado para y), então y é permitido como coeficiente dependente apenas da variável independente e esse termo seria compatível com linearidade (seria como a_1(t)x'). Porém, se y representar outra função desconhecida (ou envolver x), então o coeficiente não depende apenas da variável independente e a equação se torna acoplada/não linear por dependência em outras incógnitas.
  • O termo à direita, \operatorname{sen}(x), é uma função não linear de x. Isso por si só quebra a linearidade: numa equação linear o lado não homogêneo g(t) não pode depender de x. Aqui \operatorname{sen}(x) depende de x, e não de somente da variável independente.
Portanto, independentemente da interpretação de y (se y for variável independente ou outra função), o termo \operatorname{sen}(x) torna a equação não linear, pois é uma função não linear da incógnita x.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia (didática curta e prática).
  • Exemplo de equação linear de segunda ordem:
x^{\prime\prime} + p(t)\,x' + q(t)\,x = r(t).
Aqui p(t),q(t),r(t) dependem só da variável independente t.
  • Exemplo de equação não linear (semelhante à dada):
x^{\prime\prime} + x\,x' = \sin(x),
a presença de x multiplicando x' e de \sin(x) mostra claramente a não linearidade.
No nosso caso a presença de \operatorname{sen}(x) na equação é suficiente para classificá‑la como não linear.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: não linear

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