Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a ordem e a linearidade da equação diferencial dada. A equação fornecida é
. As informações relevantes são:
- A equação envolve a derivada de
em relação a , escrita como . - Aparece também o termo
.
Passo 2
Definição de ordem (explicação didática): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for
a equação é de ordem
; se a maior derivada for
, é de ordem
.
Aplicando isso aqui: na equação
a única derivada que aparece é
, ou seja, a maior (e única) ordem de derivada é
. Portanto a equação é de ordem
.
Passo 3
Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear em
(e suas derivadas) se todas as aparições de
e de suas derivadas entram apenas multiplicadas por funções do independente
(ou constantes) e nunca elevadas a potências diferentes de
, nem aparecem produtos entre
e suas derivadas, nem funções não lineares de
. Para a primeira ordem, a forma linear geral é
onde
,
e
são funções apenas de
. Qualquer termo como
,
,
etc. torna a equação não linear.
Passo 4
Agora aplicando essa definição à equação dada. Escrevendo-a isolando a derivada:
Note que do lado direito aparece o termo
, isto é,
elevado à potência
. Isso viola a condição de linearidade (em uma equação linear
só pode aparecer com potência
e multiplicada por funções de
). Portanto a equação NÃO é linear — é uma equação diferencial de primeira ordem não linear.
Passo 5
Comentário prático e encorajamento (como resolver algo semelhante na prova): embora não seja linear, essa equação é um exemplo típico de equação de primeira ordem separável, porque pode ser reescrita como
e então integrar os dois lados para obter a solução geral. Mas como a pergunta era só sobre ordem e linearidade, o importante é reconhecer que a presença de
indica não linearidade. Você já está indo bem ao identificar essas coisas rapidamente — com prática fica automático!
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear