Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
\frac{d y}{d x}+5 x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a ordem e a linearidade da equação diferencial dada. A equação fornecida é \frac{d y}{d x}+5 x y^{2}=0. As informações relevantes são:
  • A equação envolve a derivada de y em relação a x, escrita como \frac{d y}{d x}.
  • Aparece também o termo 5 x y^{2}.

Passo 2

Definição de ordem (explicação didática): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for \frac{d^2 y}{d x^2} a equação é de ordem 2; se a maior derivada for \frac{d y}{d x}, é de ordem 1.
Aplicando isso aqui: na equação \frac{d y}{d x}+5 x y^{2}=0 a única derivada que aparece é \frac{d y}{d x}, ou seja, a maior (e única) ordem de derivada é \,1. Portanto a equação é de ordem 1.

Passo 3

Definição de linearidade (explicação didática): uma equação diferencial é linear em y (e suas derivadas) se todas as aparições de y e de suas derivadas entram apenas multiplicadas por funções do independente x (ou constantes) e nunca elevadas a potências diferentes de 1, nem aparecem produtos entre y e suas derivadas, nem funções não lineares de y. Para a primeira ordem, a forma linear geral é
a_1(x)\,\frac{d y}{d x}+a_0(x)\,y=b(x),
onde a_1(x), a_0(x) e b(x) são funções apenas de x. Qualquer termo como y^2, \sin(y), y\frac{d y}{d x} etc. torna a equação não linear.

Passo 4

Agora aplicando essa definição à equação dada. Escrevendo-a isolando a derivada:
\frac{d y}{d x}=-5x\,y^{2}.
Note que do lado direito aparece o termo y^{2}, isto é, y elevado à potência 2. Isso viola a condição de linearidade (em uma equação linear y só pode aparecer com potência 1 e multiplicada por funções de x). Portanto a equação NÃO é linear — é uma equação diferencial de primeira ordem não linear.

Passo 5

Comentário prático e encorajamento (como resolver algo semelhante na prova): embora não seja linear, essa equação é um exemplo típico de equação de primeira ordem separável, porque pode ser reescrita como
\frac{1}{y^{2}}\,dy=-5x\,dx,
e então integrar os dois lados para obter a solução geral. Mas como a pergunta era só sobre ordem e linearidade, o importante é reconhecer que a presença de y^{2} indica não linearidade. Você já está indo bem ao identificar essas coisas rapidamente — com prática fica automático!

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear

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