Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(i) f(x)=x^3-3 x^2+3 x

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a função f(x)=x^3-3x^2+3x usando derivadas para estudar crescimento, concavidade e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para ver onde a função cresce ou decresce.
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2+3xr)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2
Os únicos pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é, x=1. Como f'(x)=3(x-1)^2 é sempre >=0 e só zera em x=1 sem mudar de sinal, concluímos:
  • Cresce em (-infty,infty).
  • Não há intervalo de decrescimento.

Passo 3

Agora estudamos a concavidade calculando a segunda derivada.
f''(x)=ddxl(3x^2-6x+3r)=6x-6=6(x-1)
Temos:
  • f''(x)<0 quando x<1 ⇒ função côncava para baixo em (-infty,1).
  • f''(x)>0 quando x>1 ⇒ função côncava para cima em (1,infty).
    O ponto onde f''(x)=0 é x=1 e f(1)=1-3+3=1, logo há ponto de inflexão em (1,1).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, juntamos tudo:
  • A função é monotonicamente crescente.
  • Possui inflexão em (1,1), mudando de côncava para baixo pra côncava para cima.
  • Como f(x)=(x-1)^3+1, ela se comporta como uma cúbica padrão deslocada para a direita em 1 e para cima em 1.
    Dessa forma, o esboço é uma curva que sobe, afunda levemente antes de x=1, passa suavemente pelo ponto de inflexão e segue subindo mais aberta depois.

Passo 5

Pronto! Com esses dados você consegue desenhar o esboço: uma cúbica monótona crescente com inflexão em (1,1).

Resposta

Intervalos de crescimento: (-∞,∞). Não há decrescimento. Concavidade: côncava para baixo em (-∞,1), côncava para cima em (1,∞). Ponto de inflexão em (1,1). Gráfico: cúbica monótona crescente, inflexão em (1,1), forma de (x-1)^3+1.

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