Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(i)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(i)
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a função
usando derivadas para estudar crescimento, concavidade e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para ver onde a função cresce ou decresce.
Os únicos pontos críticos vêm de
, isto é,
. Como
é sempre
e só zera em
sem mudar de sinal, concluímos:
- Cresce em
. - Não há intervalo de decrescimento.
Passo 3
Agora estudamos a concavidade calculando a segunda derivada.
Temos:
-
quando ⇒ função côncava para baixo em . -
quando ⇒ função côncava para cima em .
O ponto ondeé e , logo há ponto de inflexão em .
Passo 4
Para esboçar o gráfico, juntamos tudo:
- A função é monotonicamente crescente.
- Possui inflexão em
, mudando de côncava para baixo pra côncava para cima. - Como
, ela se comporta como uma cúbica padrão deslocada para a direita em 1 e para cima em 1.
Dessa forma, o esboço é uma curva que sobe, afunda levemente antes de, passa suavemente pelo ponto de inflexão e segue subindo mais aberta depois.
Passo 5
Pronto! Com esses dados você consegue desenhar o esboço: uma cúbica monótona crescente com inflexão em
.
Resposta
Intervalos de crescimento: (-∞,∞). Não há decrescimento. Concavidade: côncava para baixo em (-∞,1), côncava para cima em (1,∞). Ponto de inflexão em (1,1). Gráfico: cúbica monótona crescente, inflexão em (1,1), forma de
.