Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, seus pontos de máximos e mínimos, locais e globais, se houver e calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de f, sendo que f(x)=x^x, x>0

Passo 1

Estamos estudando a função f(x)=x^x, para x>0, e queremos achar onde ela cresce ou decresce, seus extremos (locais e globais), calcular os limites nos extremos do domínio e esboçar o gráfico. O tema é estudo de função via derivada.

Passo 2

Para encontrar f ‘(x), usamos logaritmo. Definindo g(x)=ln f(x)=x ln x, temos:
[
\frac{f’(x)}{f(x)}=g’(x)=\ln x+1
]
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[
f’(x)=x^x,(\ln x+1).
]

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0. Como x^x>0 sempre, basta ln x+1=0, isto é x=1/e.
Analisando o sinal de f'(x):
– Se 0<x<1/e, então ln x<−1 ⇒ ln x+1<0 ⇒ f’(x)<0 (f decresce).
– Se x>1/e, então ln x>−1 ⇒ ln x+1>0 ⇒ f’(x)>0 (f cresce).

Passo 4

Em x=1/e a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo. O valor é
[
f\bigl(1/e\bigr)=(1/e){1/e}=e{-1/e}.
]
Como nos limites do domínio (x→0+ e x→∞) f assume valores maiores, esse é o mínimo global. Não há ponto de máximo.

Passo 5

Agora os limites:
– Limite quando x→0+ de x^x. Escrevemos x^x=\exp(x ln x). Como x ln x→0 (pois ln x→−∞ mas x→0), temos
[
\lim_{x\to0+}x^x=\exp(0)=1.
]
– Limite quando x→∞ de x^x: como x ln x→∞,
[
\lim_{x\to\infty}x^x=\infty.
]

Passo 6

Com esses dados podemos esboçar o gráfico:
– A função decresce de f(0+)=1 até o mínimo em (1/e,e^{-1/e}), depois cresce indefinidamente, cruzando f(1)=1 e tendendo a ∞.
– Em x→0+ há assíntota horizontal y=1.
– Em x→∞ cresce sem limite.

Resposta

Intervalos de decrescimento: (0,1/e); de crescimento: (1/e,∞). Mínimo global em x=1/e, com f(1/e)=e^{-1/e}. Não há máximos. Limites: lim_{x→0+}x^x=1; lim_{x→∞}x^x=∞. Gráfico com assíntota y=1 em x→0+, mínimo em (1/e,e^{-1/e}) e crescimento até ∞.

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