Para cada uma das funçōes abaixo, determine os intervalos no qual a função dada positiva e aqueles onde ela é negativa.
s(t)=(2 t-3)(t+1)(2-t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
s(t) = (2t - 3),(t + 1),(2 - t)
é positiva e onde é negativa. O conteúdo aqui é análise de sinais de um polinômio fatorado: primeiro encontramos as raízes (zeros) de cada fator, depois organizamos esses pontos na reta real e testamos o sinal em cada intervalo resultante.

Passo 2

Para achar os zeros, igualamos cada fator a zero:
2t - 3 = 0 Longrightarrow t = tfrac32,
t + 1 = 0 Longrightarrow t = -1,
2 - t = 0 Longrightarrow t = 2

Passo 3

Ordenamos as raízes na reta real em ordem crescente:
-1, tfrac32, 2
Isso cria quatro intervalos para testar o sinal de s(t):
(-infty,-1), (-1,tfrac32), (tfrac32,2), (2,infty)

Passo 4

Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de cada fator:
1. Para t < -1 (por exemplo t=-2):
(2t-3)<0,;(t+1)<0,;(2-t)>0\quad Rightarrow\quad (-) times (-)times(+)=+.
2. Para -1<t<tfrac32 (por exemplo t=0):
(2t-3)<0,;(t+1)>0,;(2-t)>0\quad Rightarrow\quad (-) times (+)times(+)= -.
3. Para tfrac32<t<2 (por exemplo t=1,6):
(2t-3)>0,;(t+1)>0,;(2-t)>0\quad Rightarrow\quad (+) times (+)times(+)= +.
4. Para t>2 (por exemplo t=3):
(2t-3)>0,;(t+1)>0,;(2-t)<0\quad Rightarrow\quad (+) times (+)times(-)= -.

Passo 5

Concluímos então:
- s(t)>0 em (- infty,-1)cup(tfrac32,2).
- s(t)<0 em (-1,tfrac32)cup(2,infty).

Resposta

s(t) é positiva em (-infty,-1)cupl(tfrac32,2r) e negativa em l(-1,tfrac32r)cup(2,infty).

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