Para cada uma das funçōes abaixo, determine os intervalos no qual a função dada positiva e aqueles onde ela é negativa.
m(y)=y(1-2 y)y+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
m(y)=y(1-2y)y+1
é positiva ou negativa. Esse conteúdo é análise de sinais de função racional: vamos encontrar domínio, zeros do numerador e zero do denominador e depois testar sinais em cada intervalo.

Passo 2

Identificamos o domínio e os pontos críticos. Como o denominador não pode ser zero, o domínio é
Rsetminus-1.
O numerador y(1-2y) se anula em y=0 e em y=tfrac12.

Passo 3

Fatoramos a função como
m(y)=y,(1-2y)y+1
Os fatores são y, 1-2y e y+1, que mudam de sinal nos pontos y=0, y=tfrac12 e y=-1, respectivamente.

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Intervalo (-infty,-1): escolhemos y=-2. Então y<0, 1-2y>0, y+1<0. Numerador negativo, denominador negativo Rightarrow m(y)>0.
Intervalo (-1,0): escolhemos y=-tfrac12. Então y<0, 1-2y>0, y+1>0. Numerador negativo, denominador positivo Rightarrow m(y)<0.
Intervalo (0,tfrac12): escolhemos y=tfrac14. Então y>0, 1-2y>0, y+1>0. Numerador positivo, denominador positivo Rightarrow m(y)>0.
Intervalo (tfrac12,infty): escolhemos y=1. Então y>0, 1-2y<0, y+1>0. Numerador negativo, denominador positivo Rightarrow m(y)<0.

Resposta

m(y)>0 em (-infty,-1)cup(0,tfrac12).
m(y)<0 em (-1,0)cup(tfrac12,infty).

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