Calcule os limites fundamentias:
lim x infty(x1+x)^x.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(x1+xr)^x
Este é um tipo de limite exponencial em que a base tende a 1 e o expoente tende a infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e depois retornar à exponenciação.

Passo 2

Reescrevemos a base de forma a evidenciar o desvio em relação a 1:
x1+x ;=; 1 - 11+x

Passo 3

Definimos
y = l(x1+xr)^x
e tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = x ,ln!l(1 - 11+xr)

Passo 4

Para encontrar limxtoinftyln y, usamos a expansão em série para ln(1+u) com u=-1/(1+x), pois uto0:
ln!l(1 - 11+xr) approx -11+x - 12(1+x)^2 + cdots
Multiplicando por x:
xln!l(1 - 11+xr) approx -x1+x - x2(1+x)^2 + cdots longrightarrow -1 quando xtoinfty
Logo limxtoinftyln y = -1.

Passo 5

Voltando da forma logarítmica, temos
limxtoinftyy =limxtoinftye^ln y =e^-1

Resposta

1e

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