Soma de uma série de comparação com binômios e uma série geométrica:
Determine a convergência da soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a soma de duas séries infinitas:
O conteúdo que vamos usar inclui o teste de comparação (ou comparação-limite) para a primeira série e a soma de uma série geométrica para a segunda.
Passo 2
Para a primeira série note que
logo o termo geral é
Para grandes
temos
Aplicando o teste de comparação-limite com a série harmônica
, calculamos
Como
diverge e o limite é finito e não nulo, conclui-se que
também diverge.
Passo 3
A segunda série é geométrica, pois
Aqui a razão é
com
, logo a série converge e sua soma é
Passo 4
Como a primeira série diverge e a segunda converge, a soma das duas
herda a divergência da parte divergente. Portanto, a soma total diverge.
Resposta
A soma diverge.