Soma de uma série de comparação com binômios e uma série geométrica:
sumn=1^infty nbinomn+22+sumn=1^infty 3^n4^n+1
Determine a convergência da soma.

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de duas séries infinitas:
sumn=1^infty nbinomn+22 e sumn=1^infty 3^n4^n+1
O conteúdo que vamos usar inclui o teste de comparação (ou comparação-limite) para a primeira série e a soma de uma série geométrica para a segunda.

Passo 2

Para a primeira série note que
binomn+22 = (n+2)(n+1)2,
logo o termo geral é
an = nbinomn+22 = 2n(n+1)(n+2)
Para grandes n temos
an sim 2nn^2 = 2n
Aplicando o teste de comparação-limite com a série harmônica sum 1/n, calculamos
limntoinftyan1/n = limntoinfty2n/[(n+1)(n+2)]1/n = limntoinfty2n^2(n+1)(n+2) = 2neq 0
Como sum 1/n diverge e o limite é finito e não nulo, conclui-se que
sumn=1^infty nbinomn+22
também diverge.

Passo 3

A segunda série é geométrica, pois
3^n4^n+1 = 14l(34r)^n
Aqui a razão é r=3/4 com lvert rrvert<1, logo a série converge e sua soma é
sumn=1^infty 3^n4^n+1 = 14sumn=1^inftyl(34r)^n = 14cdot341-34 = 34

Passo 4

Como a primeira série diverge e a segunda converge, a soma das duas
sumn=1^infty nbinomn+22 ;+; sumn=1^infty 3^n4^n+1
herda a divergência da parte divergente. Portanto, a soma total diverge.

Resposta

A soma diverge.

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