Soma de uma série exponencial e uma série telescópica:
Verifique se a soma total converge.
Passo 1
O enunciado pede para somar duas séries infinitas e verificar convergência:
- A série
- A série telescópica
O conteúdo envolve séries de potência (função exponencial) e séries telescópicas. Vamos reconhecer cada soma e depois somar os resultados.
Passo 2
Para a primeira série, lembramos a expansão em série de Maclaurin de
:
Aqui tomamos
, então
Como nossa soma começa em
, basta subtrair o termo de
, que é
. Logo
Passo 3
A segunda série é telescópica porque
O somatório parcial de
a
fica
Ao fazer
, esse parcial tende a
. Portanto
Passo 4
Somando as duas parcelas obtidas:
Como cada série é de termos não negativos e converge, a soma total também converge.
Resposta
A soma converge e vale
.