Soma de uma série exponencial e uma série telescópica:
sumn=1^infty 2^nn!+sumn=1^infty 1n(n+1)
Verifique se a soma total converge.

Passo 1

O enunciado pede para somar duas séries infinitas e verificar convergência:
  1. A série
sumn=1^infty 2^nn!
  1. A série telescópica
sumn=1^infty 1n(n+1)
O conteúdo envolve séries de potência (função exponencial) e séries telescópicas. Vamos reconhecer cada soma e depois somar os resultados.

Passo 2

Para a primeira série, lembramos a expansão em série de Maclaurin de e^x:
sumn=0^infty x^nn!=e^x
Aqui tomamos x=2, então
sumn=0^infty 2^nn!=e^2
Como nossa soma começa em n=1, basta subtrair o termo de n=0, que é tfrac2^00!=1. Logo
sumn=1^infty 2^nn!=e^2 - 1

Passo 3

A segunda série é telescópica porque
1n(n+1)=1n-1n+1
O somatório parcial de n=1 a N fica
sumn=1^Nl(1n-1n+1r) =(1-tfrac12)+(tfrac12-tfrac13)+cdots+(tfrac1N-tfrac1N+1) =1-1N+1
Ao fazer Ntoinfty, esse parcial tende a 1. Portanto
sumn=1^infty1n(n+1)=1

Passo 4

Somando as duas parcelas obtidas:
(e^2 - 1) + 1 = e^2
Como cada série é de termos não negativos e converge, a soma total também converge.

Resposta

A soma converge e vale e^2.

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