Soma de uma série de Leibniz modificada e uma série p :
sumn=1^infty(-1)^n nn+1+sumn=1^infty 1n^1.05
Determine a convergência.

Passo 1

O enunciado apresenta duas séries infinitas
sumn=1^infty(-1)^n,nn+1 e sumn=1^infty1n^1.05
e pede para analisar a convergência de cada uma e, em seguida, da soma. Vamos usar o teste do termo geral (condição necessária), o teste da série p e a propriedade de que soma de série divergente com convergente diverge.

Passo 2

Para a série
sumn=1^infty(-1)^n,nn+1,
o termo geral é
an = (-1)^n,nn+1
Note que
limntoinfty nn+1 = 1,
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limntoinfty an ;não existe como zero (oscila entre (pm1)) ã
Pelo teste do termo geral, como limntoinftyanneq0, essa série diverge.

Passo 3

Para a série
sumn=1^infty1n^1.05,
trata-se de uma série do tipo
sum 1n^p
com p = 1,05>1. Pelo teste da série p, sempre que p>1 a série converge.

Passo 4

Temos uma série que diverge (a primeira) e outra que converge (a segunda). A soma de uma série divergente com uma convergente é divergente.

Resposta

A primeira série diverge, a segunda converge e, portanto, a soma diverge.

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