Soma de uma série harmônica modificada e uma série de fatoriais divididos por potências:
A soma total converge ou diverge?
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da soma de duas séries:
O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries infinitas: usaremos o teste da integral para a primeira e o teste da razão para a segunda.
Passo 2
Analisemos
Aplicamos o teste da integral considerando a função contínua, positiva e decrescente
Calculamos
Pela equivalência entre divergência da integral e da série, concluímos que
diverge.
Passo 3
Agora a série
Aplicamos o teste da razão:
Fazendo
,
Como a razão excede
, a série diverge.
Passo 4
Cada uma das séries diverge individualmente. Portanto, a soma das duas séries também diverge.
Resposta
A soma total diverge.