Soma de uma série harmônica modificada e uma série de fatoriais divididos por potências:
sumn=2^infty 1n(ln n)+sumn=1^infty (n+1)!n cdot 2^n
A soma total converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da soma de duas séries:
sumn=2^infty1n,ln n e sumn=1^infty(n+1)!n,2^n
O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries infinitas: usaremos o teste da integral para a primeira e o teste da razão para a segunda.

Passo 2

Analisemos
sumn=2^infty1n,ln n
Aplicamos o teste da integral considerando a função contínua, positiva e decrescente
f(x)=1x,ln x, x>=2
Calculamos
integral2^inftydxx,ln x =limttoinftyl[ln(ln x)r]2^t =limttoinftyln(ln t)-ln(ln 2) =+infty
Pela equivalência entre divergência da integral e da série, concluímos que
sumn=2^infty1n,ln n
diverge.

Passo 3

Agora a série
sumn=1^inftyan com an=(n+1)!n,2^n
Aplicamos o teste da razão:
an+1an =(n+2)!(n+1),2^n+1(n+1)!n,2^n =(n+2),n,2^n(n+1),2^n+1 =n(n+2)2(n+1)
Fazendo ntoinfty,
limntoinftyan+1an =limntoinftyn^2+2n2n+2 =+infty>1
Como a razão excede 1, a série diverge.

Passo 4

Cada uma das séries diverge individualmente. Portanto, a soma das duas séries também diverge.

Resposta

A soma total diverge.

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