Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.
f(x)=\frac{3 x^{2}+4 x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x)=\frac{3x^{2}+4x}{1+x^{2}},
classificá-los como máximo ou mínimo local e determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f. Vamos usar:
1. Derivada de quociente (quotient rule).
2. Zeros de f'(x) como candidatos a pontos críticos.
3. Teste de sinal de f'(x) para monotonia e classificação.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(6x+4)(1+x^{2})-(3x^{2}+4x)\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Expandindo o numerador:
(6x+4)(1+x^{2})=6x+6x^{3}+4+4x^{2},
(3x^{2}+4x)\cdot 2x=6x^{3}+8x^{2},
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\text{num}(f')=6x^{3}+4x^{2}+6x+4 -\bigl(6x^{3}+8x^{2}\bigr) =-4x^{2}+6x+4.
Portanto
f'(x)=\frac{-4x^{2}+6x+4}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' indefinida. Aqui (1+x^{2})^{2}>0 em todo \mathbb{R}, então basta resolver
-4x^{2}+6x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}-6x-4=0.
Usando fórmula de Bhaskara:
x=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{8} =\frac{6\pm10}{8} \;\Longrightarrow\; x=-\tfrac12,\;2.

Passo 4

Para a monotonia, analisamos o sinal de \text{num}(f')=-4x^{2}+6x+4. É uma parábola que abre para baixo (coeficiente -4). Logo:
  • \text{num}(f')>0 para -\tfrac12<x<2,
  • \text{num}(f')<0 para x<-\tfrac12 e x>2.
    Como o denominador é sempre positivo, concluímos:
  • f'(x)>0 em \bigl(-\tfrac12,2\bigr): f cresce.
  • f'(x)<0 em \bigl(-\infty,-\tfrac12\bigr)\cup\bigl(2,\infty\bigr): f decresce.

Passo 5

Classificação pelos sinais de f':
  • Em x=-\tfrac12: f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local.
  • Em x=2: f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo local.
    Valores de f nesses pontos:
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\frac{3\cdot(\tfrac14)+4\cdot(-\tfrac12)}{1+\tfrac14} =\frac{\tfrac34-2}{\tfrac54} =-1,
f(2) =\frac{3\cdot4+4\cdot2}{1+4} =\frac{12+8}{5} =4.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
\displaystyle \bigl(-\tfrac12,-1\bigr) é mínimo local.
\displaystyle (2,4) é máximo local.
Interv. de crescimento: \bigl(-\tfrac12,2\bigr).
Interv. de decrescimento: \bigl(-\infty,-\tfrac12\bigr)\cup\bigl(2,\infty\bigr).

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