Calcule a integral iterada.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz
Esse é um caso de integração em um paralelepípedo, onde as variáveis são independentes. Vamos usar o Teorema de Fubini e a linearidade da integral para separar em parcelas que dão integramos mais simples.

Passo 2

Pela linearidade,
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy\,dz +\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy\,dz +\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}z^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Calcular cada parcela separadamente, usando que as integrais se multiplicam por serem limites independentes:
  1. Para x^{2}:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dz\Bigr) =\frac{1^{3}}{3}\times 2\times 2 =\frac{1}{3}\times 4 =\frac{4}{3}.
  1. Para y^{2}:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dz\Bigr) =1\times\frac{2^{3}}{3}\times 2 =1\times\frac{8}{3}\times 2 =\frac{16}{3}.
  1. Para z^{2}:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}z^{2}\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}z^{2}\,dz\Bigr) =1\times 2\times\frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} =2\times\frac{2}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 4

Somando as três parcelas:
\frac{4}{3} + \frac{16}{3} + \frac{4}{3} =\frac{4+16+4}{3} =\frac{24}{3} =8.

Resposta

O valor da integral é 8.

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