Se f é uma função derivável e positiva, então (\ln f(x))^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}. Vamos usar este fato para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2} \sqrt[3]{7 x-14}}{\left(1+x^{2}\right)^{4}}
Tomando o logarítmo nos dois lados, e lembrando que a função logaritmo transforma produtos em soma e potências em produtos, obtemos
\ln (f(x))=2 \ln (x)+\frac{1}{3} \ln (7 x-14)-4 \ln \left(1+x^{2}\right)
Derivando, obtemos
\frac{1}{f(x)} f^{\prime}(x)=\frac{2}{x}+\frac{7 / 3}{7 x-14}-\frac{8 x}{1+x^{2}}
e portanto
f^{\prime}(x)=\frac{x^{2} \sqrt[3]{7 x-14}}{\left(1+x^{2}\right)^{4}}\left(\frac{2}{x}+\frac{7 / 3}{7 x-14}-\frac{8 x}{1+x^{2}}\right)
O procedimento acima é chamado de derivação logarítmica. Use-o para derivar as funções abaixo.
(a) f(x)=(x+1)^{x}
(b) f(x)=(\operatorname{sen} x)^{\cos x}.

Passo 1

O enunciado pede para usar derivação logarítmica, que consiste em tomar \ln de
f(x)
, usar que \ln transforma produto em soma e potência em produto, derivar ambos os lados e isolar f'(x). Faremos isso para as funções (a) (x+1)^x e (b) (\sin x)^{\cos x}.

Passo 2

Para f(x)=(x+1)^x, definimos
y=f(x),\quad \ln y = \ln\bigl((x+1)^x\bigr)=x\ln(x+1).
Derivando em relação a x:
\frac{1}{y}y' = \frac{d}{dx}\bigl[x\ln(x+1)\bigr] =\ln(x+1)+x\cdot\frac{1}{x+1}.
Logo,
y' = y\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr) =(x+1)^x\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Para f(x)=(\sin x)^{\cos x}, definimos
y=f(x),\quad \ln y = \ln\bigl((\sin x)^{\cos x}\bigr) =\cos x\;\ln(\sin x).
Derivando:
\frac{1}{y}y' = \frac{d}{dx}\bigl[\cos x\ln(\sin x)\bigr] =-\sin x\;\ln(\sin x)+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} =-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}.
Portanto,
y' = y\Bigl(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\Bigr) =(\sin x)^{\cos x}\Bigl(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\Bigr).

Resposta

(a) f'(x)=(x+1)^x\Bigl(\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\Bigr).
(b) f'(x)=(\sin x)^{\cos x}\Bigl(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\Bigr).

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